granice dla funkcji sinus

[gawlik7]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to } \frac{sinx}{x} =\lim_{x\to 0} \frac{sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}\) i tu się kończy moja pomysłowość - przychodzi mi tylko na myśl jakieś podstawienie za 1/x ale chyba nic to nie da

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{4x}{3sin2x} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{3} \frac{2x}{sin2x} = \frac{2}{3}}\) - ja to wyliczyłem tak a w odpowiedziach jest 1/3 ??: z góry dzięki za wskazówki

[soku11]

Co do pierwszego to wystarczy zauwazyc, ze \(\displaystyle{ -1\leqslant sinx qslant 1\ \forall_x}\). Tak wiec, licznik w nieskonczonosci bedze wynosil gdzes miedzy -1 a 1. Natomiast mianownik bedzie rosl bardzo szybko do nieskonczonosci. A jak wiadomo: jakas liczba z przedzialu sinusa podzielona przez nieskonczonosc da 0. Tak wiec ta granica wyniesie 0.

Drugie jest ok. POZDRO

[bolo]

Ad. 1. Można sobie w myślach napisać \(\displaystyle{ \left[\tfrac{\langle-1;1\rangle}{\infty}\right]}\) i widać, że będzie zero. Formalnie należałoby potraktować to twierdzeniem o trzech ciągach.

Ad. 2. Nie patrz na odpowiedzi. Odpowiedzi kłamią