Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Emiel Regis » 26 paź 2007, o 22:40

Mamy tak:
\(\displaystyle{ \{X_i\}_{i I} X \\ a,b X \\ a \ R \ b \bigvee_{i I} a,b X_i}\)
I należy udowodnić twierdzenie:
R - relacja równoważnosci \(\displaystyle{ X= \bigcup_{i \in I} X_i, \ \ i \neq j => X_i \cap X_j = \emptyset}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Tomasz Rużycki » 26 paź 2007, o 23:16

Zauwaz, ze elementy rodziny \(\displaystyle{ \{X_{i}\}_{i\in I}}\) to klasy abstrakcji naszej relacji rownowaznosci, reszte sobie dopowiedz ze znanych wlasnosci tychze wlasnie.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Emiel Regis » 26 paź 2007, o 23:20

Już w tytule to zauwazyłem; )

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Tomasz Rużycki » 26 paź 2007, o 23:24

Ok, to pisze.

To najpierw z lewej do prawej.

Skoro juz wiemy, ze \(\displaystyle{ \{X_i\}_{i\in I}}\) to zbior klas abstrakcji to automatycznie mamy teze, gdyz wiemy, ze suma klas abstrakcji daje caly zbior \(\displaystyle{ X}\), a same klasy sa albo rowne albo rozlaczne.

Z prawej do lewej.

1) zwrotnosc

\(\displaystyle{ aRa\equiv \exists i\in I : a\in X_i}\), a to mamy z tego, ze \(\displaystyle{ X=\bigcup_{i\in I} X_i}\).

2) symetria - raczej oczywiste

3) przechodniosc

Niech \(\displaystyle{ aRb\wedge bRc}\).

Wtedy znajdziemy takie \(\displaystyle{ X_{i_0}}\) i \(\displaystyle{ X_{i_1}}\), ze \(\displaystyle{ a,b\in X_{i_0}}\) i \(\displaystyle{ b,c\in X_{i_1}}\), ale \(\displaystyle{ X_{i_0}\cap X_{i_1}=\emptyset}\), wiec \(\displaystyle{ i_0 = i_1}\), czyli \(\displaystyle{ aRc}\).
Ostatnio zmieniony 26 paź 2007, o 23:52 przez Tomasz Rużycki, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Emiel Regis » 26 paź 2007, o 23:31

To już przedstawie swoje rozumowanie.

U mnie problem jest jak zwykle w tego typu zadaniach z formalnym zapisaniem. Robie tak:
( b \ R \ a \\ \bigvee_i a,b \in X_i[/latex]
No to także jasne ze b,a też należa do jednego zbioru...
3. przechodniość
\(\displaystyle{ [a \ R \ b \wedge b \ R \ c] => a \ R \ c \\ \bigvee_i a, b X_i \bigvee_j b, c X_j}\)
Czyli tutaj także wszytskie elementy a, b, c muszą nalezeć do jednej klasy czyli zachodzi a R c.

No i to byłby koniec dowodu w jedną stronę. Nie wiem czy takie coś wystarczy?
A w drugą sądze że jeszcze prościej ale jakos nie mam pomysłu...

[edit]
To widze podobnie jak Ty kombinuję. W zwrotnosci już wiem co źle zinterpretowalem. Symetria jasne, ale w przechodniosci skąd masz zbiór pusty? Wspolnym elementem jest b...

I jakbys mogl jeszcze dowód w prawo troche rozwinąć; )
Ostatnio zmieniony 26 paź 2007, o 23:49 przez Emiel Regis, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Tomasz Rużycki » 26 paź 2007, o 23:48

No tak, jest ok, tylko musisz sie wytlumaczyc, czemu mozesz wybrac te zbiory.

A w druga strone?

Mamy takie fakciki:

Niech \(\displaystyle{ R}\) bedzie relacja rownowaznosci, powiedzmy na zbiorze \(\displaystyle{ Y}\), wtedy:

\(\displaystyle{ [a]_{R}\cap _{R}=\emptyset\vee [a]_{R}=_{R}}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcup_{a\in Y} [a]_{R} = Y}\).


--
No wlasnie z tego, ze przeciecie dowolnych dwoch roznych klas abstrakcji jest zbiorem pustym wnioskujemy, ze tamte dwie sa rowne, czyli te trzy elementy naleza do jednego zbioru.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Emiel Regis » 26 paź 2007, o 23:55

No tak, to przechodniość widze ze jednak tak samo zrobilismy. To w lewo dowód zamknięty.

Natomiast te fakty co podajesz to czy my ich nie mamy wlasnie udowodnic...? Także trudno w dowodzie się opierać na tym co mamy udowodnic: | chyba że coś pokręciłem...
Choć w desperacji na egzaminie zdarzył mi się dowód poprzez założenie tezy; )

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Tomasz Rużycki » 27 paź 2007, o 00:02

To sa ogolne fakty zachodzace dla dowolnej r. rownowaznosci.

Wiemy, ze \(\displaystyle{ p\Rightarrow q\equiv p\vee q}\), wiec mozemy pokazac \(\displaystyle{ [a]_R\cap _R\neq\emptyset\Rightarrow [a]_R = _R}\).

Niech \(\displaystyle{ x\in [a]_R}\), z zalozenia mamy \(\displaystyle{ [a]_R\cap _R\neq\emptyset}\), powiedzmy, ze \(\displaystyle{ c}\) lezy w tym przecieciu.

Mamy \(\displaystyle{ xRc}\), ale \(\displaystyle{ cRb}\), wiec z przechodniosci \(\displaystyle{ xRb}\), mamy inkluzje \(\displaystyle{ [a]_R\subset _R}\), druga pokazujemy analogicznie.


Teraz ten drugi fakcik, inkluzje \(\displaystyle{ \bigcup_{a\in Y} [a]_R\subset Y}\) mamy od razu, druga inkluzje mamy ze zwrotnosci.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Emiel Regis » 27 paź 2007, o 00:22

Powoli myslę bo senny jestem.

W tym drugim fakciku jak pokazać ze zwrotnosci inkluzje w drugą strone?

A co do wyjsciowego zadania to moge jakos skomentowac czemu tamte rodziny zbiorów uważam za klasy abstrakcji? Bo faktycznie jak sie stwierdzi że to klasy abstrakcji to nie ma w ogole czego dowodzić.

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Tomasz Rużycki » 27 paź 2007, o 00:36

Popatrz: niech \(\displaystyle{ x\in Y}\), ze zwrotnosci mamy \(\displaystyle{ xRx}\), czyli \(\displaystyle{ x\in [x]_R\subset \bigcup_{a\in Y} [a]_R}\).

Co do drugiego pytania, chcemy pokazac, ze jesli \(\displaystyle{ a\in X_0}\), to \(\displaystyle{ [a]=X_0}\).

\(\displaystyle{ x\in [a]\equiv xRa\equiv x,a\in X_0\equiv x\in X_0}\).

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Emiel Regis » 27 paź 2007, o 00:52

heh
\(\displaystyle{ \bigcup_{a\in Y} [a]_{R} = Y}\)
zresztą to przecież jest oczywiste skoro sumujemy po wszystkich elementach Y a każdy element należy do swojej klasy to siłą rzeczy uzbieramy cały zbior Y i mamy od razu równość...

Co do pierwszego faktu to sprytny pomysł zeby zamienić mało ciekawą alternatywę na sprawdzanie implikacji. To w dwa lata po teorii mnogości w koncu coś z niej już wiem: )

Korzystając z okazji, widzę że czesto piszesz \(\displaystyle{ \equiv}\). Jaka jest roznica w logice miedzy pisaniem \(\displaystyle{ \equiv}\) a \(\displaystyle{ }\)?
Tomasz Rużycki pisze:Co do drugiego pytania, chcemy pokazac, ze jesli \(\displaystyle{ a\in X_0}\), to \(\displaystyle{ [a]=X_0}\).
\(\displaystyle{ x\in [a]\equiv xRa\equiv x,a\in X_0\equiv x\in X_0}\).
hmm, czyli w tej chwili pokazałeś że klasa abstrakcji jakiegoś elementu a z \(\displaystyle{ X_i}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ X_i}\), jeszcze potrzebna inkluzja w drugą stronę... no i to już chyba będzie koniec moich pytań.
Ostatnio zmieniony 27 paź 2007, o 01:22 przez Emiel Regis, łącznie zmieniany 3 razy.

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Tomasz Rużycki » 27 paź 2007, o 01:18

W sumie zadna, zajrzyj do podrecznika Kuratowskiego np., tak tam oznacza rownowaznosc ;) A pisalem tak, bo \equiv jest troche krotsze niz \Rightleftarrow . ;-) Poza tym wydaje mi sie, ze przy sporym 'stezeniu' symboli logicznych poprawia to czytelnosc. ;)

Odnosnie pytania - wszystkie przejscia sa rownowazne, wiec masz inkluzje w druga strone.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Emiel Regis » 27 paź 2007, o 01:25

Uff, to pokonane zadanie.

Dziekuje za pomoc!

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27908
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Jan Kraszewski » 27 paź 2007, o 20:38

Tomasz Rużycki pisze:A pisalem tak, bo equiv jest troche krotsze niz Rightleftarrow .
Spróbuj iff ...
JK

Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Relacja równoważnosci, rozłączność klas abstrakcji.

Post autor: Tomasz Rużycki » 27 paź 2007, o 22:42

Dziekuje bardzo.

ODPOWIEDZ