kombinacje czy wariacje, raz na zawsze rozwiążmy ten probl

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Demon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 8 maja 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 24 razy

kombinacje czy wariacje, raz na zawsze rozwiążmy ten probl

Post autor: Demon » 26 paź 2007, o 21:40

Jak wiadomo wariacje stosujemy wówczas gdy kolejność jest istotna (w przeciwieństwie do kombinacji). Jednak spotkałem się z zadaniami, które tego nie potwierdzają, np.
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie kostką sześcienna, określić prawdopodobieństwo zdarzeń, że:
a) suma wyrzuconych oczek jest parzysta
b) suma wyrzuconych oczek jest nieparzysta
c) suma wyrzuconych oczek jest podzielona przez 3
Rozwiązanie ze studiów:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = W^{2}_{6} = 36 \\
a) \ |A| = 18 \ P(A) = \frac{1}{2} \\
b) \ |B| = 18 \ P(B) = \frac{1}{2} \\
b) \ |C| = 12 \ P(C) = \frac{1}{3} \\}\)

a wg. mnie będą to:
a) kombinacje (z powtórzeniami?) - kolejność w dodawaniu nie ma znaczenia - np. jeżeli wylosujemy 2 i 4 to po dodaniu będzie to liczba parzysta - 2+4=6, ale również 4+2=6
b) kombinacje (z powtórzeniami?) - sytuacja analogiczna jak w punkcie a
c) kombinacje (z powtórzeniami?) - - sytuacja analogiczna jak w poprzednich punktach

I jeszcze drugie bardzo podobne zadanie:
Rozwiązanie ze szkoły średniej:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = C^{2}_{5} = 10 \\
a) \ |A| = (24,28) = 2 \ P(A) = \frac{1}{5} \\
b) \ |B| = (57) = 1 \ P(B) = \frac{1}{10} \\}\)

Tutaj jest chyba dobrze, ale nie jestem pewien czy nie powinno być z powtórzeniami.

Teraz mam kilka zasadniczych pytań:
1. Czy o tym, czego mamy używać - kombinacji czy wariacji decyduje jedynie to czy ważna jest kolejność.

2. Czy można w niektórych przypadkach powiedzieć czego mamy używać - komb. czy wariac. biorąc pod uwagę tylko to z czego losujemy. Podam trzy przykłady
a) jeżeli mówimy o wyborze kilku osób do delegacji - zawsze będą to komb. bez powtórzeń (bo nie obchodzi nas kolejność tylko konkretne osoby, które są unikalne, więc komb bez powt.)
b) czy jeżeli mogą zdarzyć się powtórzenia - np. rzucamy kostką, albo wybieramy ze zbioru liczb, to ten fakt z góry przesądza to że musimy używać wariacji z powtórzeniami, nie zwracając uwagi na kolejność? Ale przecież są jeszcze kombinacje z powtórzeniami.
c) losowanie kul, kart - kombinacje bez powtórzeń bo te kule są jakby identyczne - interesują nas np. kule w kolorze zielonym - więc nie ma tu żadnej mowy o kolejności - jasne że tą są fizycznie różne kule - ale wszystkie mają ten sam kolor - wiec czy je poprzestawiamy na różne miejsca wynik będzie ten sam

Moim zdaniem odpowiedź na 3 punkt będzie negatywna, bo co jeśli byśmy przy losowaniu kart określili, że as ma być na 3 miejscu - kolejność miała by tu chyba znaczenie, bo możemy wylosować ten sam zestaw kart, ale z asem np. na 4 pozycji.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

maruda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 13 paź 2007, o 21:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: prawie Poznań
Pomógł: 5 razy

kombinacje czy wariacje, raz na zawsze rozwiążmy ten probl

Post autor: maruda » 28 paź 2007, o 22:57

W zadaniu pierwszym powinny być wariacje. Fakt, kolejność w dodawaniu nie ma znaczenia, ale 4+2 i 2+4 to jednak dwa działania (chociaż dają ten sam wynik). Mój nauczyciel tłumaczył to tak, że gdy chcemy mieć wynik 6 i wylosujemy najpierw 2, to nie ma pewności, że potem będzie 4.
W drugim zadaniu chyba umknęła treść ;)

Pytania:
1. Tak. Definicje kombinacji i wariacji różnią się jedynie w tej kwestii.
2. Wydaje mi się, że nie...
a) Według mnie w takim zadaniu może pojawić się wariacja, gdy osoby te nie są sobie równe, np. w samorządzie klasowym są trzy różne funkcje.
b) Nie - np. wtedy, gdy rzucamy dwiema identycznymi kostkami -> kombinacja z powtórzeniami.
c) Tak. Dla podanego przykładu z asem na 3. miejscu stosuje się schemat Bernoulliego, a w nim też kombinacje bez powtórzeń

Owsiak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 wrz 2007, o 14:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

kombinacje czy wariacje, raz na zawsze rozwiążmy ten probl

Post autor: Owsiak » 1 lis 2007, o 22:48

maruda pisze:b) Nie - np. wtedy, gdy rzucamy dwiema identycznymi kostkami -> kombinacja z powtórzeniami.
Nie zgodze sie. Moim zdaniem i tak trzeba bedzie zastosowac wariacje z powtorzeniami.

ODPOWIEDZ