indukcja matematyczna

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
bonitka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 15 paź 2007, o 19:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: polska

indukcja matematyczna

Post autor: bonitka » 26 paź 2007, o 19:52

Wykaż ze ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) , \(\displaystyle{ n\in N}\) gdzie \(\displaystyle{ a_{1}}\)=\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ a_{n+1}}\)=\(\displaystyle{ \sqrt{2a_{n} }}\) jest rosnący i ograniczony.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

indukcja matematyczna

Post autor: Tristan » 26 paź 2007, o 20:15

Wykażemy, że ciąg jest rosnący. Zakładamy, że \(\displaystyle{ a_{k+1}>a_{k}}\), więc teza indukcyjna to \(\displaystyle{ a_{k+2} >a_{k+1}}\). Dowód:
\(\displaystyle{ a_{k+2}=\sqrt { 2 a_{k+1}} > \sqrt{ 2 a_{k} }=a_{k+1}}\)
Pokażemy teraz, że ciąg jest ograniczony z góry przez dwa. Zakładamy oczywiście, że \(\displaystyle{ a_{k} 2}= 2}\)

bonitka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 15 paź 2007, o 19:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: polska

indukcja matematyczna

Post autor: bonitka » 26 paź 2007, o 23:45

Dziękuje za pomoc

ODPOWIEDZ