Szereg geometryczny

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
skieraw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 paź 2007, o 19:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Woszczyce

Szereg geometryczny

Post autor: skieraw » 26 paź 2007, o 19:46

Mam problem z zadaniem:

W kwadrat o boku długości "a" wpisano koło, w które wpisano kwadrat, a w ten kwadrat znów koło itd. Oblicz sumę:
a)obwodów wszystkich kół;
b)pól wszystkich kół;

Proszę o pomoc, z góry dzięki!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

salieri
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 3 wrz 2007, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 7 razy

Szereg geometryczny

Post autor: salieri » 26 paź 2007, o 20:20

Proszę, mała podpowiedź:

W pierwszym kroku, mamy podany bok kwadratu równy - a, więc jeśli wpiszemy w niego koło, to promień takiego koła będzie równy połowie a.

Następnie wpisujemy w to koło kwadrat, którego przekątna będzie równa średnicy koła, czyli a.

Wpisujemy kolejne koło, którego promień będzie równy połowie nowej długości boku ( możesz ją policzyć, ponieważ znasz wartość przekątnej = a )

Wtedy już bez problemu wyznaczysz q i pójdzie z góry

skieraw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 paź 2007, o 19:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Woszczyce

Szereg geometryczny

Post autor: skieraw » 27 paź 2007, o 12:24

Dzięki za podpowiedź, aczkolwiek nadal nie wiem jak to rozwiązać i byłbym wdzięczny gdybyś napisał mi rozwiązanie

salieri
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 3 wrz 2007, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 7 razy

Szereg geometryczny

Post autor: salieri » 27 paź 2007, o 13:03

Dobrze, proszę :

Pierwszy obwód koła to:

\(\displaystyle{ Obw_{1}= \frac {2 \pi * a}{2} = \pi * a}\)

Drugi obwód koła to :

\(\displaystyle{ Obw_{2}= \frac{2 \pi * \sqrt{2} * a}{4} = \frac{\sqrt{2} \pi * a}{2}}\)

Z tego wynika, że:

\(\displaystyle{ |q| = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

q jest mniejsze od jedynki, więc ciąg jest zbieżny, no to liczymy:


\(\displaystyle{ Obw_{n}= \frac{\pi a}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}= \pi a ( 2 + \sqrt{2} )}\)

Dla pola rozwiązujesz analogicznie, oczywiście ze wzorem na pole a nie na obwód

skieraw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 paź 2007, o 19:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Woszczyce

Szereg geometryczny

Post autor: skieraw » 27 paź 2007, o 13:18

Dzięki bardzo! Pole już wcześniej udało mi się policzyć

matematykajestsuper
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 8 kwie 2021, o 18:30
Płeć: Kobieta
wiek: 24

Re: Szereg geometryczny

Post autor: matematykajestsuper » 8 kwie 2021, o 18:32

https://www.youtube.com/watch?v=b1d2si2XzXA tutaj rozwiązanie w formie filmiku

ODPOWIEDZ