Arytmetyczny- niewiadome

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
ta_paula
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 25 paź 2006, o 20:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: LBL
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 4 razy

Arytmetyczny- niewiadome

Post autor: ta_paula » 26 paź 2007, o 18:33

Cztery różne liczby całkowite są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Czwarty wyraz ciągu jest równy sumie kwadratów trzech pozostałych wyrazów. Jakie to liczby?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Arytmetyczny- niewiadome

Post autor: Sylwek » 26 paź 2007, o 21:27

Skoro w tym ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest całkowity, to różnica ciągu też jest całkowita:

\(\displaystyle{ a+3r=a^2+(a+r)^2+(a+2r)^2 \\ a+3r=a^2+a^2+2ar+r^2+a^2+4ar+4r^2 \\ (1) \ a+3r=3a^2+6ar+5r^2 \\ 3a^2+a(6r-1)+5r^2-3r=0 \\ \Delta=36r^2-12r+1-12(5r^2-3r) \\ \Delta=36r^2-12r+1-60r^2+36r=-24r^2+24r+1=-24r(r-1)+1}\)

Ponieważ nie chce mi się liczyć drugiej delty, to zauważam, że gdy r>1 i r jest całkowite, to iloczyn -24r(r-1) jest mniejszy od -1, a gdy r\(\displaystyle{ a+3=3a^2+6a+5 \\ 3a^2+5a+2=0 \\ \Delta=25-24=1 \\ \sqrt{\Delta}=1 \\ a_{1}=\frac{-5-1}{6}=-1 \\ a_{2}=\frac{-5+1}{6}=-\frac{2}{3}}\)

'a' miało być całkowite, to a=-1.

Odpowiedź: Te liczby to -1, 0, 1, 2.

ODPOWIEDZ