Walec...

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Reset007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 18 wrz 2007, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 3 razy

Walec...

Post autor: Reset007 » 26 paź 2007, o 17:31

Znaleśc długośc promienia podstawy i długośc wysokości walca wpisanego w kulę i promieniu długości R tak, że jego objętośc jest największa...

Proszę bardzo o pomoc z góry wieeelkie dzięki...
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

Walec...

Post autor: andkom » 26 paź 2007, o 22:58

Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie promieniem podstawy rozważanego walca, a \(\displaystyle{ h}\) jego wysokością.
Mamy \(\displaystyle{ r^2+(h/2)^2=R^2}\).
Objętość walca to \(\displaystyle{ \pi r^2h=\pi(R^2-h^2/4)h=\pi(R^2h-h^3/4)=:V(h)}\).
Funkcja \(\displaystyle{ V(h)}\) przyjmuje maksimum dla takiego \(\displaystyle{ h}\), że \(\displaystyle{ V'(h)=0}\), czyli \(\displaystyle{ \pi(R^2-3h^2/4)=0}\).
Stąd \(\displaystyle{ h=\frac2{\sqrt3}R}\) oraz \(\displaystyle{ r=\sqrt{R^2-(h/2)^2}=\sqrt{1-\frac13}R=\sqrt{\frac23}R}\)

ODPOWIEDZ