Nie zadanie, lecz pytanie

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Owsiak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 wrz 2007, o 14:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Nie zadanie, lecz pytanie

Post autor: Owsiak » 26 paź 2007, o 14:29

Witam!
Dzisiaj mam taka oto zagwozdke. Wyobrazmy sobie nastepujace przykladowe zadanie: Rozmieszczamy losowo 4 identyczne kulki w 3 pojemnikach. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze w jednym pojemniku znajdziemy wszystkie 4 kulki?

Chcemy obliczyc moc przestrzeni zdarzen elementarnych. Wydawaloby sie, ze skoro kulki sa identyczne, to ich kolejnosc nie ma znaczenia i zastosujemy kombinacje z powtorzeniami, ALE! Przeciez jesli dokleimy kulkom numerki, to nie spowoduje to, ze bedziemy je znajdywac w jednym pojemniku czesciej lub rzadziej. Prawdopodobienstwo bedzie takie samo, bez wzgledu na to czy kulki beda rozne czy identyczne.

I teraz... Czego uzyc do wyznaczenia tej przestrzeni zdarzen elementarnych, tak aby wszystkie zdarzenia elementarne byly jednakowo prawdopodobne i dlaczego? Mnie sie wydaje, ze mimo wszystko wariacji z powtorzeniami... Ale dlaczego?

Z drugiej strony kiedy liczymy prawdopodobienstwo zalozmy, ze w wylosowanych z talii 5 kartach, beda dokladnie 3 asy, to posluzymy sie kombinacja. Dlaczego?

Czy ktos jest w stanie raz na zawsze rozwiac moje watpliwosci i spowodowac, ze przestane sie poslugiwac intuicja, a zaczne logika?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

Nie zadanie, lecz pytanie

Post autor: wb » 26 paź 2007, o 14:45

W zadaniu z kulkami losujemy pojemnik jeden spośród trzech, do którego wrzucamy kulkę. Losujemy pojemnik cztery razy, wobec czego wyniki losowań muszą się powtórzyć. Jedynym schematem kombinatorycznym, w którym mogą powtarzać się wylosowywane ze zbioru elementy są wariacje z powtórzeniami. By go zastosować do Twojego zadania pojemniki musimy rozróżniać (np. ponumerować) i wówczas:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=W_3^4=3^4}\)

zaś sprzyjające są tylko te wyniki, w których numery pojemniki, wszystkie cztery są jednakowe. Są trzy takie wyniki: (1,1,1,1), (2,2,2,2), (3,3,3,3).

Owsiak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 wrz 2007, o 14:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Nie zadanie, lecz pytanie

Post autor: Owsiak » 26 paź 2007, o 14:55

No dobrze, a jezeli zadanie bedzie brzmialo nastepujaco: do 6-ciu pojemnikow wkladamy 4 kulki, ale w kazdym z nich moze sie znalezc maksymalnie jedna. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze pierwszy pojemnik bedzie pusty? I co teraz?

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

Nie zadanie, lecz pytanie

Post autor: wb » 26 paź 2007, o 15:49

Wtedy należy wylosować numery dwóch pojemników, które zostaną puste a do pozostałych czterech trzeba dolosować po dokładnie jednej kuli do każdego, co można wykonać dla nierozróżnialnych kul, tylko na jeden sposób.
Ten sposób losowania nie wymaga kolejności w jakiej wybierzemy puste pojemniki, więc:

\(\displaystyle{ p(A)=\frac{C_1^1\cdot C_5^1}{C_6^2}}\)

Demon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 8 maja 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 24 razy

Nie zadanie, lecz pytanie

Post autor: Demon » 26 paź 2007, o 17:23

wb pisze:Jedynym schematem kombinatorycznym, w którym mogą powtarzać się wylosowywane ze zbioru elementy są wariacje z powtórzeniami. By go zastosować do Twojego zadania pojemniki musimy rozróżniać (np. ponumerować) i wówczas:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=W_3^4=3^4}\)

zaś sprzyjające są tylko te wyniki, w których numery pojemniki, wszystkie cztery są jednakowe. Są trzy takie wyniki: (1,1,1,1), (2,2,2,2), (3,3,3,3).
Elementy mogą się jeszcze powtarzać w kombinacjach z powtórzeniami i permutacjach z powtórzeniami, więc skoro w tym zadaniu kolejność jest nieistotna czemu nie można zastosować kombinacji z powtórzeniami?

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Nie zadanie, lecz pytanie

Post autor: Sir George » 26 paź 2007, o 18:55

wb pisze:By go zastosować do Twojego zadania pojemniki musimy rozróżniać (np. ponumerować) i wówczas:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=W_3^4=3^4}\)
Tyle tylko, że jest liczba zdarzeń elementarnych, kiedy rozróżniamy kulki (tj. dokładnie wiemy, która jest pierwsza, itd.)
wb pisze:W zadaniu z kulkami losujemy pojemnik jeden spośród trzech, do którego wrzucamy kulkę. Losujemy pojemnik cztery razy, wobec czego wyniki losowań muszą się powtórzyć.
Właśnie w tym zdaniu jest błąd - a dokładniej stwierdzenie o rozróżnialności kulek...


Jeśli kulki są nierozróżnialne, to liczba zdarzeń elementarnych to dokładnie \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}\,=\,C_{4+3-1}^4\,=\,{6\choose 4}}\)

Owsiak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 wrz 2007, o 14:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Nie zadanie, lecz pytanie

Post autor: Owsiak » 26 paź 2007, o 20:30

Liczba zdarzen elementarnych, liczba zdarzen elementarnych, ale czy one wtedy beda jednakowo prawdopodobne?

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Nie zadanie, lecz pytanie

Post autor: Emiel Regis » 26 paź 2007, o 21:35

Sir George ma rację, nierozróżnialność kulek całkowicie zmienia tok rozumowania i moc omegi będzie wlasnie taka jak napisał.

Takie zdarzenia elementarne oczywiscie są jednakowo prawdopodobne.
Można je sobie wyobrazać jako liczba umieszczeń dwóch kresek w ciągu 6 elementów.

Owsiak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 wrz 2007, o 14:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Nie zadanie, lecz pytanie

Post autor: Owsiak » 26 paź 2007, o 23:06

Nie no wszystko fajnie, tylko ze...
(przypomne problem, rozmieszczamy 4 kulki w 3 pojemnikach)
1. Kulki sa identyczne:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=\overline{C}^4_3={4+3-1\choose 4}=15\\\overline{\overline{A}}=3\\P(A)=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}}\)

2. Kulki sa rozroznialne:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=\overline{V}^4_3=3^4=81\\\overline{\overline{A}}=3\\P(A)=\frac{3}{81}=\frac{1}{27}}\)

P(A) w pierwszym przypadku jest wieksze niz P(A) w drugim przypadku i z tego powstaje nam wniosek: Jesli chce znajdowac czesciej wszystkie kulki w jednym pojemniku, to musze je pomalowac na ten sam kolor. Bez sensu. Gdzie jest blad?

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Nie zadanie, lecz pytanie

Post autor: Emiel Regis » 27 paź 2007, o 10:01

Nie ma błędu. Zdarzenia sprzyjające są w obu przypadkach trzy, natomiast jeśli masz kulki nierozróznialne to masz znacznie mniejszą omegę (bo wiele ustawien ktore wczesniej uważalismy za rózne teraz okazują się takie same) wiec jasne że wtedy ułamek musi wyjść większy.

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Nie zadanie, lecz pytanie

Post autor: Sir George » 6 lis 2007, o 12:37

Jeszcze moje 3 grosze
Owsiak pisze:Jesli chce znajdowac czesciej wszystkie kulki w jednym pojemniku, to musze je pomalowac na ten sam kolor. Bez sensu.
Racja, bez sensu... Rozróżnialność kulek, to nie tylko ich kolor... Kulki mogą być tego samego koloru, nawet być takie same, a jednak być rozróżnialne: pierwsza, którą wrzuciliśmy do pudełka, druga, którą wrzuciliśmy, itd...

Wracając do pierwotnego zadania
Owsiak pisze:Wydawaloby sie, ze skoro kulki sa identyczne, to ich kolejnosc nie ma znaczenia i zastosujemy kombinacje z powtorzeniami, ALE!
No właśnie nie, bo nic tu nie ma mowy o tym, że kulki nie są rozróżnialne, a dokładniej - nie ma mowy o sposobie rozmieszczania owych kulek, tzn. wrzucamy je wszystkie jednocześnie, wrzucamy je jedna po drugiej, itp.
Praktycznie więc słowo "identyczne" w zdaniu:
Owsiak pisze:Rozmieszczamy losowo 4 identyczne kulki w 3 pojemnikach.
możemy opuścić.


...ale to jest tylko moje osobiste zdanie....

ODPOWIEDZ