Udowodnij, że wyrażenie jest liczbą naturalną

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
seyfert
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 19 paź 2006, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 12 razy

Udowodnij, że wyrażenie jest liczbą naturalną

Post autor: seyfert » 25 paź 2007, o 23:43

Witam! Zadanie właściwie proste, ale jak się za ne zabrałem to nic nie wyszło Prosiłbym o rozwiązanie bądź wskazówki...pozdrawiam

Udowodnij, że ...
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{50 - 30\sqrt3} + \sqrt[3]{54 + 30\sqrt3}}\)
...jest liczbą naturalną.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

Udowodnij, że wyrażenie jest liczbą naturalną

Post autor: andkom » 26 paź 2007, o 06:30

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{54\pm30\sqrt[2]3}=\sqrt[3]{27\pm27\sqrt[2]3+27\pm3\sqrt[2]3}=\\
=\sqrt[3]{3^3\pm3\cdot3^2\cdot\sqrt[2]3+3\cdot3\cdot(\sqrt[2]3)^2\pm(\sqrt[2]3)^3}=\\
=\sqrt[3]{(3\pm\sqrt[2]3)^3}=3\pm\sqrt[2]3}\)

Stąd
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{54+30\sqrt[2]3}+\sqrt[3]{54-30\sqrt[2]3}=\\
(3+\sqrt[2]3)+(3-\sqrt[2]3)=6\in\mathbb N}\)


W oryginalnej treści zadania oczywiście jest błąd - powinno być 54, a nie 50. Dla 50 nie dostaniemy liczby naturalnej.

smiechowiec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 374
Rejestracja: 21 cze 2007, o 11:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łostowice
Pomógł: 146 razy

Udowodnij, że wyrażenie jest liczbą naturalną

Post autor: smiechowiec » 26 paź 2007, o 10:25

Obawiam się andkom, że gdzieś jest coś nie tak bo II linia nie równa się III
andkom pisze: \(\displaystyle{ \sqrt[3]{3^3\pm3\cdot3^2\cdot\sqrt[2]3+3\cdot3\cdot(\sqrt[2]3)^2\pm(\sqrt[2]3)^3}
\sqrt[3]{(3\pm\sqrt[2]3)^3}}\)

seyfert
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 19 paź 2006, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 12 razy

Udowodnij, że wyrażenie jest liczbą naturalną

Post autor: seyfert » 26 paź 2007, o 11:10

Dzięki wielkie! Tak teraz sobie zdaje sprawę, że tak będzie 54, a ja się męczyłem dla 50..hehe Dzięki jeszcze raz i pozdrawiam..

ODPOWIEDZ