Dowody

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
pelas_91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 838
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 71 razy

Dowody

Post autor: pelas_91 » 25 paź 2007, o 20:47

Wykaż że jeśli \(\displaystyle{ n N}\) da się zapisać w postaci sumy kwadratów dwóch liczb całkowitych to liczbę \(\displaystyle{ 5n}\) również można przedstawić w ten sposób.

Do niczego nie umiem dojść, potrafie tylko zapisać głupią równość którą jakbym nie przekształcał, to i tak nic mi to nie daje...

Niech:
\(\displaystyle{ n = x^2 + y^2}\)
oraz
\(\displaystyle{ 5n = a^2 + b^2}\)
(Oczywiście \(\displaystyle{ a,b,x,y C}\)

\(\displaystyle{ 5x^2 + 5y^2 = a^2 + b^2}\)

Nie oczekuje od nikogo rozwiązania zadania, dajcie mi jakąś wskazówke żebym mógł sobie sam rozwiązać.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Dowody

Post autor: Piotr Rutkowski » 25 paź 2007, o 21:09

Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ 5n=5a^{2}+5b^{2}}\) jak pokombinujesz, to wyjdzie Ci suma kwadratów 2 nawiasów (pamiętaj o wzorach skróconego mnożenia)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

Dowody

Post autor: andkom » 25 paź 2007, o 21:10

Skoro chcesz tylko wskazówki, to weź \(\displaystyle{ a=2x+y}\)

Awatar użytkownika
pelas_91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 838
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 71 razy

Dowody

Post autor: pelas_91 » 25 paź 2007, o 21:55

Chyba naprawde jestem ciemny albo czegoś tu nie widzę... ??
polskimisiek pisze:Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ 5n=5a^{2}+5b^{2}}\) jak pokombinujesz, to wyjdzie Ci suma kwadratów 2 nawiasów (pamiętaj o wzorach skróconego mnożenia)
taka jakby sprzeczność mi wyszła bo skoro \(\displaystyle{ 5n=a^{2}+b^{2}}\) to \(\displaystyle{ 5n 5a^{2}+5b^{2}}\)
andkom pisze:Skoro chcesz tylko wskazówki, to weź \(\displaystyle{ a=2x+y}\)
tzn po pierwsze nie rozumiem skąd się to wzięło, raczej chyba nie moge sobie tak po prostu zakładać a może to jest równe, a po podniesieniu do kwadratu i roznych przeksztalceniach jestem w kropce

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

Dowody

Post autor: andkom » 25 paź 2007, o 22:00

No to spróbuj \(\displaystyle{ a=2x+y}\) oraz \(\displaystyle{ b=x-2y}\)

Awatar użytkownika
pelas_91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 838
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 71 razy

Dowody

Post autor: pelas_91 » 25 paź 2007, o 22:06

andkom pisze:No to spróbuj \(\displaystyle{ a=2x+y}\) oraz \(\displaystyle{ b=x-2y}\)
Aha... Czasem matematyka mnie zaskakuje... W życiu bym nie wpadł na to żeby tak rozpisać liczbę \(\displaystyle{ 5x^2+5y^2}\)

Dziekuję wszytkim...

ODPOWIEDZ