Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{r(n)}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n - 1} }\) , gdy \(\displaystyle{ r(n)= \sum_{ d|n} 1 }\).

Wbrew pozorom zadanie ma wiele wspólnego z zadaniem 20-stym z tego zestawu:

viewtopic.php?t=457603&start=15

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{r(n)}{2^n} }\)

weźmy ogólnie co łatwo zauważyć:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } r(n)x^n=x+2x^2+2x^3+3x^4+2x^5+...= }\)

\(\displaystyle{ x+x^2+x^3+...}\)

\(\displaystyle{ +x^2+x^4+x^6+...}\)

\(\displaystyle{ +x^3+x^6+x^9+...}\)

..........................................

\(\displaystyle{ +x^k+x^{2k}+x^{3k}+...}\)

....................................................................

ca da nam:

\(\displaystyle{ \frac{x}{1-x} +\frac{x^2}{1-x^2}+\frac{x^3}{1-x^3}+...= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n}{1-x^n} }\)

teraz podstawmy:

\(\displaystyle{ x= \frac{1}{2} }\)

i otrzymamy:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{1-2^n}}\)

co daje tezę, dalej łączy się to z funkcją Riemanna i tam gdzie przesycenie matematyki dyskretnej dyskretne przechodzi w poważną analizę...

cnd...

To jest inaczej \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}(1 + \frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^{2n}}+... ) }\).