Matematyka.pl

Cześć,
Dzisiaj pomyślałem o czymś takim jak następująca hipoteza.
Weźmy kolejne liczby 1,2,6,24,120,720,... czyli kolejne silnie liczb naturalnych. Zapiszmy je w systemie dwójkowym i policzmy w każdej takiej liczbie ilość zer i jedynek. Hipoteza brzmi: najmniejsza liczba, w której zer i jedynek jest tyle samo to 10! - jest w jej zapisie binarnym dokładnie 11 zer i 11 jedynek. Dla większych liczb zera będą występować częściej niż jedynki.

Czy to coś trudnego czy coś oczywistego w dowodzie? I czy ktoś mógłbym przedstawić dowód? Argument heurystyczny z domnażaniem kolejnych liczb \(\displaystyle{ n! \cdot (n+1) }\) wskazywałby, że w co drugim domnażaniu mnożymy przez liczbę parzystą czyli jakąś dwójkę (co najmniej jedną) więc dochodzi co najmniej jedno zero w zapisie binarnym. Dzięki za podpowiedzi.
Tomek

najmniejsza liczba, w której zer i jedynek jest tyle samo to 10!

raczej: \(\displaystyle{ 10_{(2)}}\)

Racja, chodziło o największą tego typu liczbę. Problem nie wydaje się łatwy i z tego co czytałem z chatem to jest nietrywialny.

może to iść w nieskończoność

Przyjmijmy zgodnie moją osobistą fobią, że przedstawimy każdą liczbę jako \(\displaystyle{ n=a \cdot 2 ^{s} }\) gdzie \(\displaystyle{ a- nieparzysta}\), \(\displaystyle{ s-stopień-parzystości}\)
Możemy wtedy zauważyć, że silnię \(\displaystyle{ n_{i}!= (\prod_{k=0}^{i}a _{k}) \cdot 2^{ \sum_{k=0}^{i} s_{k} } }\) . W zapisie binarnym silnia \(\displaystyle{ n _{i}!}\) będzie złożona z części z mieszaniną zer i jedynek zakończoną blokiem \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{i} s_{k}}\) zer.
Jak zauważyłem pierwsza część dąży do podziału fifty-fifty a blok końcowy zer rośnie pokaźnie.
Oznacza to że wymagane byłoby niezłe odchylenie w mieszanym bloku by pokryć blok zer. Prawdopodobieństwo spada ale czy nie trafia się w totka?
Liczba bitów (znaków w zapisie binarnym) to ok. \(\displaystyle{ n!}\) to około \(\displaystyle{ \log_2(n!)}\)
Liczba zer na końcu to w przybliżeniu \(\displaystyle{ n}\)
Można oszacować liczbę zer w binarnym zapisie na \(\displaystyle{ \frac{1}{2} ( \cdot \log_2(n!)-n)+n}\), inaczej \(\displaystyle{ \frac{\log_2(n!)+n}{2} }\)
Liczba jedynek wyniesie \(\displaystyle{ \frac{\log_2(n!)-n}{2} }\)
Czyli proporcja \(\displaystyle{ \frac{ilość-0}{ilość-1} }\) wyniesie statystycznie \(\displaystyle{ \frac{\log_2(n!)+n}{\log_2(n!)-n} }\)