Matematyka.pl

Witam.
Słyszałem o wzorze na pole trójkąta z wykorzystaniem chyba macierzy wektora pomnożonego przez 0,5.
Czy to prawda?
Przy okazji byłbym bardzo wdzięczny za podzielenie się innymi polami, dla innych figur. Może się to przydać w geometrii analitycznej, nawet jeśli jest to poziom ponad maturą rozszerzoną.
Prosiłbym również o wyjaśnienie kiedy, i jak mogę użyć tych wzórów.
Poprosiłbym też z wyjaśnieniem tego wzoru na pole trójkąta.
Pozdrawiam.

Może chodzi Ci o wzór na pole trójkąta rozpiętego przez niewspółliniowe wektory \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\) na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \RR^2}\) ? Wtedy pole to połowa wartości bezwzględnej wyznacznika tych wektorów:

\(\displaystyle{ P=\frac12\left| \det(\vec{u},\vec{v})\right|.}\)

A może chodzi Ci o wzór na pole trójkąta rozpiętego przez niewspółliniowe wektory \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\) ? Wtedy pole to połowa długości ich iloczynu wektorowego:

\(\displaystyle{ P=\frac12\left| \vec{u} \times \vec{v}\right|.}\)

JK

PS Nie ma czegoś takiego jak "macierz wektora".

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}\cdot |d| }\)
\(\displaystyle{ d= \begin{vmatrix} x&a\\y&b\end{vmatrix}}\)
gdzie:
x,y to współrzędne wektora u;
a,b to współrzędne wektora v.

Tak to mniej więcej wyglądało, niestety nie wiem który to z wymienionych przez Pana wzorów. Słyszałem, że do innych figur również można go stosować/ podobne wzory. Jednak nie wiem kiedy (co musi być spełnione, o ile musi) oraz do jakich

Kuba291163916291 pisze: 23 lut 2026, o 17:15 Tak to mniej więcej wyglądało, niestety nie wiem który to z wymienionych przez Pana wzorów.

To jest pierwszy z moich wzorów.

Kuba291163916291 pisze: 23 lut 2026, o 17:15Słyszałem, że do innych figur również można go stosować/ podobne wzory. Jednak nie wiem kiedy (co musi być spełnione, o ile musi) oraz do jakich

Wzór

\(\displaystyle{ P=\left| \det(\vec{u},\vec{v})\right|}\)

opisuje pole równoległoboku rozpiętego przez niewspółliniowe wektory \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\) na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \RR^2}\).

Wzory te można stosować, gdy znamy współrzędne wektorów \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v},}\) które rozpinają interesujący nas trójkąt/równoległobok. No i musisz wiedzieć, jak liczy się wyznacznik (czyli Twoje \(\displaystyle{ d}\)).

JK

Dziękuję za wyjaśnienie.

Czy istnieją podobne wzory pozwalające w ten sposób obliczać pole innych figur? Jeśli tak, to dla jakich i jakie warunki muszą być spełnione, aby można je było zastosować?
Mam na myśli takie podstawowe figury... raczej na poziom matury tych trudniejszych figur nie wymagają

Kuba291163916291 pisze: 24 lut 2026, o 10:30Czy istnieją podobne wzory pozwalające w ten sposób obliczać pole innych figur?

Może istnieją, ale nigdy nie byłem kolekcjonerem wzorów, więc Ci nie pomogę.

JK