Cykl końcówek przy wielokrotnym mnożeniu przez 9
: 1 lut 2026, o 13:13
Zauważyłem ciekawy wzór dotyczący końcówek liczb przy mnożeniu modulo 10.
Rozważmy liczbę:
\(\displaystyle{ N = 2^{4} \cdot 9^{8}}\)
Ponieważ potęgi liczby 9 mają cykl długości 2 modulo 10, mamy:
\(\displaystyle{ 9^{8} \equiv 1 \pmod{10}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ N \equiv 16 \equiv 6 \pmod{10}}\)
Teraz, jeśli zaczniemy wielokrotnie mnożyć tę liczbę przez 9, to ostatnia cyfra zaczyna tworzyć cykl długości 2:
\(\displaystyle{ 8 \rightarrow 2 \rightarrow 8 \rightarrow 2 \rightarrow \ldots}\)
Można to łatwo sprawdzić:
\(\displaystyle{ 8 \cdot 9 = 72 \equiv 2 \pmod{10}}\)
\(\displaystyle{ 2 \cdot 9 = 18 \equiv 8 \pmod{10}}\)
Powstaje więc stabilny cykl:
\(\displaystyle{ 8 \leftrightarrow 2}\)
Pytanie do społeczności:
Czy ten dwuelementowy cykl końcówek przy mnożeniu przez 9 ma jakąś oficjalną nazwę w teorii liczb?
A może jest to po prostu szczególny przypadek ogólnej klasyfikacji cykli mnożenia modulo 10?
Chętnie poznam Wasze opinie i ewentualne odniesienia do literatury.
Rozważmy liczbę:
\(\displaystyle{ N = 2^{4} \cdot 9^{8}}\)
Ponieważ potęgi liczby 9 mają cykl długości 2 modulo 10, mamy:
\(\displaystyle{ 9^{8} \equiv 1 \pmod{10}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ N \equiv 16 \equiv 6 \pmod{10}}\)
Teraz, jeśli zaczniemy wielokrotnie mnożyć tę liczbę przez 9, to ostatnia cyfra zaczyna tworzyć cykl długości 2:
\(\displaystyle{ 8 \rightarrow 2 \rightarrow 8 \rightarrow 2 \rightarrow \ldots}\)
Można to łatwo sprawdzić:
\(\displaystyle{ 8 \cdot 9 = 72 \equiv 2 \pmod{10}}\)
\(\displaystyle{ 2 \cdot 9 = 18 \equiv 8 \pmod{10}}\)
Powstaje więc stabilny cykl:
\(\displaystyle{ 8 \leftrightarrow 2}\)
Pytanie do społeczności:
Czy ten dwuelementowy cykl końcówek przy mnożeniu przez 9 ma jakąś oficjalną nazwę w teorii liczb?
A może jest to po prostu szczególny przypadek ogólnej klasyfikacji cykli mnożenia modulo 10?
Chętnie poznam Wasze opinie i ewentualne odniesienia do literatury.