Matematyka.pl

1. limes z e; Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \Bigl( n (1+\frac{1}{n})^n - en \Bigr) \neq 0}\)
2. Jak obliczyć \(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \sin^{\sqrt{3}} x \ dx }\) ?
3. Krzyż heksomino podzielić na pięć części, z których można zbudować kwadrat.
4. Udowodnić, że \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{3 \cdot 2^2} + \frac{1}{5 \cdot 2^4}+… = \ln(3).}\)
5. Trójkąt a \(\displaystyle{ \QQ[\sqrt{3}]}\)
Czy jeśli wszystkie wierzchołki trójkąta równobocznego o boku 1 mają postać \(\displaystyle{ x+y \sqrt{p}}\) zaś \(\displaystyle{ x, y \in \QQ}\) to \(\displaystyle{ p=3}\) ?
6. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą trójkątną, to jest nią też \(\displaystyle{ 9n+1}\). Wskazać inny przykład tego typu.
7. Wyznaczyć średnicę okręgu opisanego na sześciokącie o bokach \(\displaystyle{ 1, 1, 1, 2, 2, 2.}\)
8. Zbiór trzyelementowy \(\displaystyle{ \{x, y, z \}}\) gdzie \(\displaystyle{ x< y<z}\) nazywa się niesplecionym jeśli \(\displaystyle{ x+z \neq 2y}\). Wykazac, że zbiór liczb całkowitych nieujemnych można rozłożyć na rozłączne ze sobą zbiory niesplecione.
IMOSL
9. Dwukolorowa standardowo pomalowana (jak w szachach) prostokątna szachownica została w całości przykryta przez kostki domina i tylko dwa kwadraty jednostkowe tak, że żadne płytki nie zachodzą na siebie i nie są poza planszą. Udowodnić, że jest to możliwe tylko jeśli kwadraty są na polach różnego koloru.
10. Ile pierwiastków może mieć wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^5+ax^3+b, }\) gdy \(\displaystyle{ ab \neq 0.}\)
11. Udowodnić, że \(\displaystyle{ f: (0,2) \to [0,2)}\) jest bijekcją:
\(\displaystyle{ f(x) = 2 - \frac{2}{2 \lceil \frac{2}{2-x} \rceil - \frac{2}{2-x} -1}.}\)
12. Czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{m \in PAL} \frac{1}{m} }\) jest zbieżny ?
\(\displaystyle{ PAL}\) to zbiór wszystkich liczb-palindromów.
13. Hipoteza:
Każdą funkcję \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) można przedstawić jako sumę \(\displaystyle{ k}\) funkcji których wykresy mają środki symetrii.
Wykazać jej fałszywość gdy \(\displaystyle{ k=2}\) i wyjaśnić przypadek \(\displaystyle{ k>2.}\)
14. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ xy \ge x+y }\) to \(\displaystyle{ x+y \ge 4}\) (liczby dodatnie).
15. Wykazać, że dla dowolnego układu \(\displaystyle{ n }\) punktów na płaszczyźnie i dla \(\displaystyle{ 0 \leq k \leq n }\) istnieje koło mające w swym wnętrzu dokładnie \(\displaystyle{ k }\) spośród tych punktów.
16. Udowodnić, że jeśli w trójkącie o całkowitych bokach \(\displaystyle{ x, y, z }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{z}}\), to \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
17. Fermat inaczej
Wykazać, że gdy liczby naturalne są takie, że \(\displaystyle{ x^n+y^n=z^n}\) i \(\displaystyle{ n >2 }\), to \(\displaystyle{ z> \frac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n]{2} -1}.}\)
18. Podzielić kwadrat \(\displaystyle{ 13 \times 13}\) na jedenaście mniejszych kwadratów (ich rozmiary mogą się powtarzać).
19. Czy istnieje liczba złożona, która pozostaje złożoną przy zamianie dowolnej jednej jej cyfry na dowolną inną ?
Czy odpowiedź będzie inna, gdy można zamienić dwie dowolne cyfry zamiast jednej ?
20. Rozwiązać równanie funkcyjne
\(\displaystyle{ f(xf(y) - f(x)) = 2f(x)+ xy}\)
dla \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R}.}\)

9 cd

1 cd

Fakt. Możesz poprosić Jana o zmianę hide=1 na hide=10.
.?

6 cd 15 cd

10 cd 18 cd 6 cd

zad. 2:

\(\displaystyle{
\int_{0}^{\pi} \sin ^{ \sqrt{3} }x dx= 2\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \sin ^{ \sqrt{3} }x dx=2\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \sin ^{ 2 \frac{1+ \sqrt{3} }{2}-1 }x \cdot \cos^{2 \cdot \frac{1}{2}-1} dx=2B\left( \frac{1+ \sqrt{3} }{2}, \frac{}{} \frac{1}{2} \right) =\\= 2\frac{\Gamma\left( \frac{1+ \sqrt{3} }{2}\right) \cdot \Gamma\left( \frac{1}{2} \right) }{\Gamma\left( \frac{2+ \sqrt{3} }{2}\right) } }\)

\(\displaystyle{ \Gamma \left( \frac{1}{2} \right)= \sqrt{\pi} }\)

A z resztą można się bawić ale tak skrócić, żeby nie było gammy to tego na razie nie widzę...

6 cd 14 cd 17

zad. 20

\(\displaystyle{ f\left[ xf(y)-f(x)\right] =2f(x)+xy}\)

niech:

\(\displaystyle{ f(0)=a , f(1)=b}\)

podstawmy:

\(\displaystyle{ y=0}\)

\(\displaystyle{ f\left[ ax-f(x)\right] =2f(x)}\)

\(\displaystyle{ y=1}\)

\(\displaystyle{ f\left[ bx-f(x)\right] =2f(x)+x}\)

\(\displaystyle{ x=1}\)

\(\displaystyle{ f\left[ f(y)-b\right] =2b+y}\)

lub:

\(\displaystyle{ f\left[ f(x)-b\right] =x+2b}\)

teraz:

\(\displaystyle{ x=1, y=1}\)

\(\displaystyle{ f(0)=2b+1=a}\)

\(\displaystyle{ b= \frac{a-1}{2} }\)

przepiszmy:

\(\displaystyle{ f\left[ f(x)-b\right] =x+2b}\)

podstawiamy:

\(\displaystyle{ x:=f(x)-b}\)

po dwukrotnej iteracji otrzymamy:

\(\displaystyle{ ff(x)=x+3b}\)

teraz podstawianie:

\(\displaystyle{ x:=f(x)}\)

po takiej n krotnej iteracji otrzymamy:

\(\displaystyle{ f\left[ x+3nb\right] =f(x)+3nb}\)

teraz podstawienie:

\(\displaystyle{ x=0, f(0)=a}\)

\(\displaystyle{ f(3nb)=a+3nb}\)

\(\displaystyle{ t=3nb}\)

\(\displaystyle{ f(t)=t+a}\)

zakładam milcząco, że: \(\displaystyle{ b \neq 0}\)

po podstawieniu tej funkcji do:

\(\displaystyle{ f\left[ xf(y)-f(x)\right] =2f(x)+xy}\)

okaże się, że równanie nie zajdzie , czyli założenie , że: \(\displaystyle{ b \neq 0}\)

jest nieprawdziwe, więc musi być:

\(\displaystyle{ b=0 \Rightarrow a=1}\)

mamy więc;

\(\displaystyle{ ff(x)=x}\)

mamy więc:

\(\displaystyle{ f\left[ x-f(x)\right] = 2f(x)}\)

wykonujemy teraz podstawienie:

\(\displaystyle{ x:=x-f(x)}\)

i dokonujemy \(\displaystyle{ n}\)- krotnej iteracji:

\(\displaystyle{ f\left[ x-(1+2+2^2+...+2^n)f(x)\right] =2^{n+1}f(x)}\)

po zwinięciu otrzymamy:

\(\displaystyle{ f\left[ x+(1-2^{n+1})f(x)\right] =2^{n+1}f(x)}\)

można i tak:

\(\displaystyle{ f\left[ x+(1-2^{n})f(x)\right] =2^{n}f(x)}\)

teraz:

\(\displaystyle{ x=0 , f(0)=1}\)

\(\displaystyle{ f\left[ 1-2^n\right] =2^n }\)

lub:

\(\displaystyle{ f(2^n)=1-2^n }\)

teraz wróćmy do początku:

\(\displaystyle{ f\left[ xf(y)-f(x)\right] =2f(x)+xy}\)

podstawienie:

\(\displaystyle{ x=2^n , y= 2^m}\)

da nam:

\(\displaystyle{ f \left[ -(2^{n+m}-2 \cdot 2^n+1\right] =2^{n+m}-2 \cdot 2^n+2}\)

co znacznie rozszerza dziedzinę na całkowite, czyli:

\(\displaystyle{ f(n)=-n+1}\)

możemy zapisać tak:

\(\displaystyle{ f\left[ x+(1-k)f(x)\right] =kf(x)}\)

\(\displaystyle{ x \in \RR , k \in \ZZ}\)

niech:

\(\displaystyle{ k=0}\)

\(\displaystyle{ f\left[ x+f(x)\right] =0}\)

znaczy, że to co w nawiasie kwadratowym, musi być równe jeden, czyli:

\(\displaystyle{ x+f(x)=1}\)

czyli:

\(\displaystyle{ f(x)=-x+1}\)

oczywiście po podstawieniu do wyjściowego funkcja ta spełnia równanie...

zad. 16:

\(\displaystyle{ z= \frac{xy}{x+y} }\)

od razu widać, że:

\(\displaystyle{ x+y|xy}\)

\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+ \left( \frac{xy}{x+y} \right)^2= \frac{x^4+y^4+3x^2y^y+2x^3y+2xy^3}{x^2+y^2+2xy} }\)

a można i tak:

\(\displaystyle{ \left( \frac{x^2+y^2+xy}{x+y}\right)^2= \left( \frac{(x+y)^2-xy}{x+y}\right)^2=\left( x+y- \frac{xy}{x+y} \right)^2 }\)

z uwagi na to, że:

\(\displaystyle{ x+y | xy}\)

mamy kwadrat całkowity...

cnd...

tylko założenie, że: \(\displaystyle{ x, y, z}\) to boki trójkąta jest całkiem niepotrzebne...

20 cd

to jeszcze popatrzę za parzystymi

16 cd