Twierdzenie cosinusów dla dwóch trójkątów - wyznaczenie zależności boków
: 22 gru 2025, o 07:52
Cześć,
próbuję wyznaczyć zależność boków \(\displaystyle{ e}\) do \(\displaystyle{ d}\) w trójkątach pokazanych na załączonym obrazku. Wiadomo, że:
\(\displaystyle{ \alpha_1=20^\circ,\\
\alpha_2 = 135^\circ,\\
l_1=405,\\
l_2=705,\\
e=const.,\\
d=const.}\)
Z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ l_1 ^{2}=d ^{2}+e ^{2}-2\cdot d\cdot e\cdot \cos( \alpha_1) }\) -dla pierwszego trójkąta
\(\displaystyle{ l_2 ^{2}=d ^{2}+e ^{2}-2\cdot d\cdot e\cdot \cos( \alpha_2) }\) -dla drugiego trójkąta
mając te dwa równania można wyznaczyć zależność:
\(\displaystyle{ d ^{2}+e ^{2}=l_1 ^{2}+ 2\cdot d\cdot e\cdot \cos( \alpha_1)=l_2 ^{2}+ 2\cdot d\cdot e\cdot \cos( \alpha_2) }\)
\(\displaystyle{ 2\cdot d\cdot e\cdot \cos( \alpha_1)- 2\cdot d\cdot e\cdot \cos( \alpha_2)=l_2 ^{2}-l_1 ^{2} }\)
\(\displaystyle{ 2\cdot d\cdot e\cdot (\cos( \alpha_1)- \cos( \alpha_2))=l_2 ^{2}-l_1 ^{2} }\)
\(\displaystyle{ e=\frac{(l_2 ^{2}-l_1 ^{2})}{(2\cdot d\cdot (\cos( \alpha_1)- \cos( \alpha_2))} }\)
Dla \(\displaystyle{ d=100,\ e=1011,1}\) , co nie spełnia podstawowego warunku na istnienie trójkąta:
\(\displaystyle{ d+l_1 \ge e}\)
Tak wychodzi przyrównując do siebie \(\displaystyle{ d ^{2}+e ^{2}}\)
Gdy przyrównuję \(\displaystyle{ 2\cdot e\cdot d}\) to wychodzi:
\(\displaystyle{ e=\sqrt{ \frac{l_1 ^{2}\cdot \cos( \alpha_2)-l_1 ^{2}\cdot \cos( \alpha_1)}{\cos( \alpha_2)-\cos( \alpha_1)} -d ^{2}} }\)
i w tym przypadku dla \(\displaystyle{ d=100,\ e=586,5}\) co też nie spełnia warunku.
Czy ktoś może wie, gdzie popełniam błąd (logiczny lub matematyczny)?
Jak taką zależność wyznaczyć?
EDIT:
Po dodatkowej analizie zauważyłem, że jest tylko jedno możliwe rozwiązanie. Tylko jak wyznaczyć \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ e}\)?
próbuję wyznaczyć zależność boków \(\displaystyle{ e}\) do \(\displaystyle{ d}\) w trójkątach pokazanych na załączonym obrazku. Wiadomo, że:
\(\displaystyle{ \alpha_1=20^\circ,\\
\alpha_2 = 135^\circ,\\
l_1=405,\\
l_2=705,\\
e=const.,\\
d=const.}\)
Z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ l_1 ^{2}=d ^{2}+e ^{2}-2\cdot d\cdot e\cdot \cos( \alpha_1) }\) -dla pierwszego trójkąta
\(\displaystyle{ l_2 ^{2}=d ^{2}+e ^{2}-2\cdot d\cdot e\cdot \cos( \alpha_2) }\) -dla drugiego trójkąta
mając te dwa równania można wyznaczyć zależność:
\(\displaystyle{ d ^{2}+e ^{2}=l_1 ^{2}+ 2\cdot d\cdot e\cdot \cos( \alpha_1)=l_2 ^{2}+ 2\cdot d\cdot e\cdot \cos( \alpha_2) }\)
\(\displaystyle{ 2\cdot d\cdot e\cdot \cos( \alpha_1)- 2\cdot d\cdot e\cdot \cos( \alpha_2)=l_2 ^{2}-l_1 ^{2} }\)
\(\displaystyle{ 2\cdot d\cdot e\cdot (\cos( \alpha_1)- \cos( \alpha_2))=l_2 ^{2}-l_1 ^{2} }\)
\(\displaystyle{ e=\frac{(l_2 ^{2}-l_1 ^{2})}{(2\cdot d\cdot (\cos( \alpha_1)- \cos( \alpha_2))} }\)
Dla \(\displaystyle{ d=100,\ e=1011,1}\) , co nie spełnia podstawowego warunku na istnienie trójkąta:
\(\displaystyle{ d+l_1 \ge e}\)
Tak wychodzi przyrównując do siebie \(\displaystyle{ d ^{2}+e ^{2}}\)
Gdy przyrównuję \(\displaystyle{ 2\cdot e\cdot d}\) to wychodzi:
\(\displaystyle{ e=\sqrt{ \frac{l_1 ^{2}\cdot \cos( \alpha_2)-l_1 ^{2}\cdot \cos( \alpha_1)}{\cos( \alpha_2)-\cos( \alpha_1)} -d ^{2}} }\)
i w tym przypadku dla \(\displaystyle{ d=100,\ e=586,5}\) co też nie spełnia warunku.
Czy ktoś może wie, gdzie popełniam błąd (logiczny lub matematyczny)?
Jak taką zależność wyznaczyć?
EDIT:
Po dodatkowej analizie zauważyłem, że jest tylko jedno możliwe rozwiązanie. Tylko jak wyznaczyć \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ e}\)?