Matematyka.pl

Mamy równanie postaci

\(\displaystyle{ P\left( x,y\right) \dd x +Q\left( x,y\right) \dd y = 0 }\)

Poszukujemy rozwiązania w postaci \(\displaystyle{ F\left( x,y\right)=C }\)
gdzie funkcja \(\displaystyle{ F\left( x,y\right) }\) spełnia następujący układ równań


\(\displaystyle{
\begin{cases} \frac{ \partial F}{ \partial x} = P\left( x,y\right) \\ \frac{ \partial F}{ \partial y} = Q\left( x,y\right) \end{cases}
}\)


Czy można to tłumaczyć w sposób następujący

Załóżmy że funkcja \(\displaystyle{ F\left( x,y\right) }\) spełna warunki twierdzenia Schwarza
mamy wówczas

\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial y \partial x} = \frac{ \partial F}{ \partial x \partial y} }\)
ale z powyższego układu równań mamy że \(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial x} = P\left( x,y\right) }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial y} = Q\left( x,y\right) }\)
zatem \(\displaystyle{ \frac{ \partial Q}{ \partial x} = \frac{ \partial P}{ \partial y} }\)


A może to należy tłumaczyć inaczej ?