Matematyka.pl

Ze zbiornika w kształcie walca o wymiarach: \(\displaystyle{ d_1=20\,cm}\) (średnica wewn. zbiornika) wylano przy stałym poziomie zalania \(\displaystyle{ H_1}\) przez otwór \(\displaystyle{ d_2=6\,mm}\) ( średnica otworu w dnie zbiornika) \(\displaystyle{ 1\, dm^3}\) wody w czasie \(\displaystyle{ t_1=30\,s}\), przy czym obliczony wsp wypływu wynosi \(\displaystyle{ 0,52}\) zaś, opróżniając zbiornik od wysokości \(\displaystyle{ H_1}\) do \(\displaystyle{ H_2}\) w czasie \(\displaystyle{ 180\,s}\) wsp wypływu \(\displaystyle{ = 0,64}\).
\(\displaystyle{ H_1=23\,cm\\
H_2=12\,cm}\)
Oblicz czas opróżniania tego zbiornika do \(\displaystyle{ 10\%}\) wysokości ( czyli o \(\displaystyle{ 90\%}\) od pierwotnego poziomu)
Dziekujemy
Chcemy wiedzieć jak to rozwiązać bardziej niż sam wynik

Woda wypływa ze zbiornika o średnicy \(\displaystyle{ d_{1} }\) przez otwór \(\displaystyle{ d_{2} }\) w dnie zbiornika , a do zbiornika nie ma dopływu. Zbiornik będzie się stopniowo opróżniać, zmienia się wysokość lustra wody \(\displaystyle{ H}\)(mierzona po osi wysokości \(\displaystyle{ z}\)), a więc będzie zmiennym wydatek- objętościowe natężeniem wypływu wody\(\displaystyle{ Q}\) w czasie.

1. Chwilowa prędkość wypływu cieczy przez otwór w dnie zbiornika w chwili gdy zwierciadło wody znajduje się na wysokości \(\displaystyle{ z}\)
\(\displaystyle{ v= \alpha \cdot A\sqrt{2g \cdot z} }\), (1)
\(\displaystyle{ \alpha }\) współczynnik prędkości
\(\displaystyle{ A= \frac{ \pi d _{2} ^{2} }{4} }\)- pole przekroju otworu
2. Chwilowy wydatek
\(\displaystyle{ Q=\mu \cdot A \cdot v=\mu \cdot A \sqrt{2gz} }\), (2)
\(\displaystyle{ \mu}\) -współczynnik ujmujący zaburzenia prędkości(\(\displaystyle{ \alpha )}\), dławienie, opory.
3. Czas opróżniania zbiornika \(\displaystyle{ T}\) obl. porównując objętość cieczy wypływającej w krótkim czasie \(\displaystyle{ dt}\) z otworu, z objętością warstwy wody obniżającą się w zbiorniku \(\displaystyle{ A _{z} \cdot dz }\)

\(\displaystyle{ A _{z} \cdot d _{z}=Q \cdot dt }\), (3)

\(\displaystyle{ A _{z}= \frac{ \pi d _{1} ^{2} }{4}}\)- pole poziomego przekroju na wyskości \(\displaystyle{ z}\)- przekrój stały!!!
3.1 Chwilowy czas \(\displaystyle{ dt}\) z równania
\(\displaystyle{ dt= \frac{A _{z} }{Q} dz}\), (4)
3.2. Całkowity czas otrzymamy całkując równanie (4), po uprzednim podstawieniu wyprowadzonych wielkości i rozdzieleniu zmiennych. Granice ustalamy dla :czasu dolna \(\displaystyle{ 0}\) górna \(\displaystyle{ T}\), dla wysokości, dolna \(\displaystyle{ H _{3}}\) górna \(\displaystyle{ H_{2} }\)