Równanie z sumą szeregu
: 25 lis 2025, o 11:23
\(\displaystyle{ x+3x^{2}+9x^{3}+27x^{4}+...= \frac{x}{1-3x} }\).
Lewa strona równania jest sumą szeregu geometrycznego, w którym:
\(\displaystyle{ a_{1}=x, q=3x}\).
Wyznaczam dziedzinę równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1-3x \neq 0\\\left| q\right|<1 \end{cases}\\
\begin{cases} x \neq \frac{1}{3} \\ -1<3x<1 \end{cases} }\)
Ostatecznie dostaję:
\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) }\).
Teraz korzystam ze wzoru na sumę:
\(\displaystyle{ S= \frac{x}{1-3x}\\
\frac{x}{1-3x}= \frac{x}{1-3x} .}\)
Otrzymuję równanie tożsamościowe czyli rozwiązaniem jest cały przedział \(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)}\). Czy dobrze to rozumiem?
Lewa strona równania jest sumą szeregu geometrycznego, w którym:
\(\displaystyle{ a_{1}=x, q=3x}\).
Wyznaczam dziedzinę równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1-3x \neq 0\\\left| q\right|<1 \end{cases}\\
\begin{cases} x \neq \frac{1}{3} \\ -1<3x<1 \end{cases} }\)
Ostatecznie dostaję:
\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) }\).
Teraz korzystam ze wzoru na sumę:
\(\displaystyle{ S= \frac{x}{1-3x}\\
\frac{x}{1-3x}= \frac{x}{1-3x} .}\)
Otrzymuję równanie tożsamościowe czyli rozwiązaniem jest cały przedział \(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)}\). Czy dobrze to rozumiem?