Matematyka.pl

Trójkąty podobne ;
Wykazać analitycznie , lub uzasadnić :
1. Trójkąt egipski o bokach w liczbach całkowitych
jest zarazem prostokątnym trójkątem platońskim .
2.Trójkąt egipski powiększony dwukrotnie należy do zbioru trójkątów platońskich .
Podaj algorytm generujący prostokątne trójkąty platońskie , o bakach w liczbach całkowitych .
-----------------
Są i takie trójkąty:
Każdy trójkąt pitagorejski prostokątny pierwotny , o bokach w liczbach całkowitych ,
powiekszony dwukrotnie , ma tą właściwość że należy do grupy trójkątów platońskim .
T.W.

Wykaz trójkątów pierwotnych .
Rodziny trójkątów pitagorejskich
Właściwości "trójkątów platońskich "
w załączniku ;
https://pl.wikipedia.org/wiki/Trójki_pitagorejskie

Podaj algorytm generujący prostokątne trójkąty platońskie , o bakach w liczbach całkowitych .
dla dowolnie wybranej liczby naturalnej N , ( większej od jeden )
T.W,

Wykaz trójkątów pierwotnych . (*)
https://hektor.umcs.lublin.pl/~mkosacki/trojki.htm
Różnica miedzy bokiem c i bokiem a wynosi zawsze c-a = 1
- ponadto zauważmy w trójkatach pierwotnych przyprostokątne stanowią liczby nieparzyste ;
- drugi bok przyprostokatny w trójkątach pitagorejskich pierwotnych jest wyrażony liczbą parzystą ;
- podwojone trójkąty pierwotne należą do rodziny trójkątów platońskich ;
- trójkąt platoński pomniejszony dwukrotnie należy do rodziny trójkątów pierwotnych .
T.W.

Wykaz tabelarycznyrodziny trójkątów platońskie o przeciwprostokąrnych w liczbach nieparzystych
podano w poniższym załączniku załączniku :
https://web.archive.org/web/20210421065838/https://hektor.umcs.lublin.pl/~mkosacki/trojki.html
--------------------------------------------------------------------------------------- ,
Nas interesują trójkąty platońskie o bokach w liczbach parzystych i przekątnych w liczbach parzystych .
bo takie trójkąty pommniejszone dwukrotnie dają trójkaty pitagorejskie pierwotne ( i odwrotnie )
T.W.

W podanym wcześniej załączniku zauważmy że w trójkątach pitagorejskich pierwotnych jedna przyprostokątna
stanowi zawsz liczbe nieparzystą , zaś druga przyprostokątna stanowi liczbę liczbę parzystą ,
a przeciwprostokątna stanowi liczbe nieparzystą . ( wymiary w( cm)
-
Regułę która tworzy trójki pierwotne pitagorejskie mżna znalesć w temacie
" Kamyki i figury " autora postu : mol _ ksiązkowy
w poniżej podanym załączniku :
kompendium-ciekawostek-f156/kamyki-i-fi ... tml#p45332
W zagodnieniu " Teoria trójek pierwotnych " w odnośniku - a).
Jest to " jednocześnie algorytm" , (*), który tworzy trójkąty prostokątne pitagorejskie pierwotne .
Jeżeli każdy trójkąt pierwotny powiększymy dwukrotnie to otrzymamy trójkąt podobny powiekszony dwukrotnie ,
należący do rodziny trójkątów pitagorejskich platońskich .
o wymiarach w liczbach całkowitych parzystych ,
,ten algorytm (*) również należy powiekszyć dwa razy ,
Odpowiedź : alorytm generujący trójkąty platońskie o bokach w liczbach parzysytych
jest dwa razy większy od algorytmu generującego trójkąty pierwotne .
P.S.
( Te algorytmy były znane Platonowi jak i geodetom babilońskim na długo przed budową piramid egipskich )
T.W.

Inne relacje :
Jesli trójkąt egipski pierwotny powiększymy dwukrotnie ,to otrzymamy prostokątny trójkąt platoński ,
o wymiarach 6 , 8 ,10 . w liczbach całkowitych , w (cm)
którego pole jest równe obwódowi .
Podobna relacja zachodzi dla drugiego trójkąta pierwotnego o wymiarach w liczbach całkowitych
5, 12, 13 . o przeciwprostokątnej nieparzystej o wymiarze 13 (cm ) ,
powiekszony ten trjkąt dwukrotnie , to trójkt platoński o bokach w liczbach całkowitych ,( diofantyczny )
To jedyne dwa takie trójkąty dla których pole równe jest obwodowi .
Promień okrągu wisanego w każdy trójkąt pierwotny jest równy numerowi liczby nieparzystej .
Ale to niejedyne algorytmy , które wykazał <mol_ksiązkowy> , w temacie " Kamyki i figury "
Nadmieniam że znane mi są też inne algorytmy .
Najciekawszy z nich to to algorytm numerologiczny , ( wyznaczający bok parzysty w trójkątach pierwotnych
- znany również starożytnym matematykom i geometrom w starożytnej Babiloni )
Komu znany jest ten algorytm ?
T.W.

Jak wyliczyć algorytm numerologiczny ?
numer kazdej liczby nieparzystej potrafimy wyliczyć ;
- od liczby nieparzystej odejmujemy jedynkę
- otrzymany wynik dzielimy przez dwa .
W każdym trójkącie pitagorejskim pierwotnym przyprostokątna stanowi liczbę nieparzystą , w (cm)
zaś druga przyprostokątna tego trójkąta pierwotnego stanowi liczbę całkowitą parzystą . w (cm)
Obadajmy nastepujące działanie arytmetyczne ;
(w trzech krokach) ; dla dowolnych trójkątów pierwotnych w liczbach całkowitych ;
- wyliczamy w trójkątach pierwotnych nr kolejny liczb nieparzystych dla boków przyprostokatnych nieprzystych ,
- wymiar boku przyprostokątnej nieparzystej w trójkącie pierwotnym mnożymy przez nr tej liczby nieparzystej
-do otrzymanego wyniku dodajemy wartość równą numerowi tej liczby nieparzystej
Odpowiedz :To algorytm numerologiczny
Jeśli ten algorytm podwoimy to otrzymamy algorytm dla liczb platońskich w liczbach całkowitych .
T,W.

Przykładowo wyliczmy pozostałe boki trójkąkąta pierwotnego , którego przyprostokątna
stanowi liczbę nieparzystą równą 9 (cm) ,
(drugi bok każdego trójkąta pierwotnego przyprostokątnej tego trjkąta stanowi liczbę parzystą w (cm) .
a przeciwprostokątna stanowi liczbę nieparzystą w (cm)
Rozwiazanie : algorytm numerologiczny , ( wyznaczający bok parzysty w trójkątach pierwotnych )
W oparciu o podaną formułe tego algorytmu numerologicznego przyprostokątną parzystą
wyliczamy wg następującego działania arytmetycznego ( w trzech krokach ) :
-wyliczamy nr tej liczby nieparzystej 9 to czwarta liczba nieparzysta nr=4
- wymiar liczby nieparzystej mnożymy przez jej numer 9 (cm) x 4 =36 (cm)
- do podanego wyniku dodajemy 4 (cm ) , (zauważmy że wymiar ten jest równy nr tej liczby )
36(cm) +4 (cm)= 40 (cm ); to wymiar przyprostokątnej parzystej .
Przeciwprostokątną nieparzystą wyliczymy z tw, Pitagorasa
( lub do przyprostokokątnej parzystej dodajemy jednkę w (cm)
Wymiary tego trójkąta pierwotnego : 9, 40, 41

T.W,

Uzupełnienie :
Przyprostokątna trójkątów pierwotnych stanowi liczbę nieparzystą ( *)
zaś przyprostokątna parzysta stanowi liczbą parzystą .
Zauważmy że przyprostokątna parzysta w trójkatach pierwotnych
jest sumą sumę dwóch odcinków w liczbach całkowitych w ( cm )
-odcinka dłuższego ; równego iloczynowi liczby nieparzystą (*) i jej numeru ,
(tzn, liczbę nieparzystą mnożymy przez jej numer )
-odcinka krótszego , równego numerowi tej liczby .
Algorytm numerologiczny , ( wyznaczający bok parzysty w trójkątach pierwotnych )
jest równy sumie tych dwóch odcinków (w liczbach całkowitych ).
Przykłady :
3 x 1 +1 =4 ; to trójkąt pierwotny ; 3, 4 , 5 .
5x2 +2 =12 ; to drugi trójkąt pierwotny ; 5, 12, 13 .
7x3 +3 =24 ; to trzeci trójkąt pierwotny ; 7, 24 , 25 .
9x4 +4 =40 , to czwarty trójkąt pierwotny ; 9 ,40, 41 .
11x5 +5 = 60 , to piąty trójkąt pierwotny ; 11, 60, 61 .
-
i.t.d.
( przeciwprostokątne obliczamy z twierdzenia Pitagorasa) ,
To bardzo praktyczne narzędzie arytmetyczne pozwlające wyznaczyć prójkąty pitagorejskie pierwotne.
Pozdrawiam .
T.W,

Zadanie :
Obliczyć obwód trójkątów pitagorejskich pierwotnych
znając tylko długość przyprostokątnej nieparzystej w (cm).

Odpowiedz :
1.) Długość przyprostokątnej nieparzystej w (cm) mnożymy przez kolejną po niej liczbę parzystą .
2.)Dłuość przyprostokątnej nieparzystej w (cm) mnożymy przez liczbę " równą tej liczbie nieparzystej"
i do tego wyniku w (cm) dodajemy długość równą długości tej liczby nieparzystej .

Czy to prawidłowe odpowiedzi