Matematyka.pl

Chciałbym zamieścić tutaj do sprawdzenia dowód twierdzenia, że jeżeli ciąg ma granicę to jest ograniczony.

Jeżeli ciąg \(\displaystyle{ \left( a_{n}\right)}\) ma granicę \(\displaystyle{ g}\) to z definicji wynika, że prawie wszystkie wyrazy tego ciągu należą do dowolnego otoczenia granicy tego ciągu, czyli do zbioru \(\displaystyle{ \left( g-\epsilon;g\right) \cup \left( g;g+\epsilon\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \epsilon}\) jest promieniem otoczenia granicy ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\). Wówczas ciąg \(\displaystyle{ \left( a_{n}\right) }\) jest ograniczony.
Zapis kwantyfikatorami:
\(\displaystyle{ \forall \epsilon \gt 0 \ \exists N \in \mathbb{N}: \forall n \in \mathbb{N}\ \left| a_{n}-g\right|\lt \epsilon \Rightarrow a_{n} \in \textbf{U}\left( g;\epsilon\right)}\)

smo pisze: 3 lis 2025, o 22:15Jeżeli ciąg \(\displaystyle{ \left( a_{n}\right)}\) ma granicę \(\displaystyle{ g}\) to z definicji wynika, że prawie wszystkie wyrazy tego ciągu należą do dowolnego otoczenia granicy tego ciągu, czyli do zbioru \(\displaystyle{ \left( g-\epsilon;g\right) \cup \left( g;g+\epsilon\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \epsilon}\) jest promieniem otoczenia granicy ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\).

To akurat nieprawda, o czym najlepiej przekona Cię ciąg stały.

smo pisze: 3 lis 2025, o 22:15 Wówczas ciąg \(\displaystyle{ \left( a_{n}\right) }\) jest ograniczony.

No ale gdzie ten dowód?

smo pisze: 3 lis 2025, o 22:15Zapis kwantyfikatorami:
\(\displaystyle{ \forall \epsilon \gt 0 \ \exists N \in \mathbb{N}: \forall n \in \mathbb{N}\ \left| a_{n}-g\right|\lt \epsilon \Rightarrow a_{n} \in \textbf{U}\left( g;\epsilon\right)}\)

A to już w ogóle nie wiadomo, co to jest (i po co). Zresztą zapis i tak jest do niczego.

JK

Twierdzenie:
Jeżeli ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest zbieżny to jest ograniczony.
Dowód:
Jeżeli \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to \infty }a_{n}=g}\) to dla dowolnie małej dodatniej liczby \(\displaystyle{ \epsilon}\) istnieje takie \(\displaystyle{ N}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n \gt N}\) jest \(\displaystyle{ a_{n} \in \mathbb{U}\left (g;\epsilon\right)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(\displaystyle{ n \gt N }\) jest \(\displaystyle{ g-\epsilon \lt a_{n} \lt g+\epsilon}\) co oznacza, że ciąg \(\displaystyle{ \left (a_{n}\right)}\) jest ograniczony.

Przepisałeś definicję granicy ciągu, a potem stwierdziłeś, że to koniec. To nie jest dowód.

Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ograniczony, jeżeli istnieje liczba rzeczywista \(\displaystyle{ M}\) taka, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) mamy \(\displaystyle{ |a_n|<M}\). Twierdzenie o ograniczoności ciągu jest zatem twierdzeniem egzystencjalnym, a dowód będzie polegał na wskazaniu wspomnianego \(\displaystyle{ M}\).

JK

Ok, dzięki.
To może inaczej. Przedstawię mniej formalny dowód. Napiszę to tak jak ja to rozumiem.

Niech ciąg \(\displaystyle{ \left( a_{n}\right)}\) będzie zbieżny do granicy \(\displaystyle{ g}\). Wówczas z definicji wynika, że dla dowolnie małej liczby dodatniej \(\displaystyle{ \epsilon}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ N}\), że dla każdej liczby \(\displaystyle{ n \gt N}\) spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ \left |a_{n}-g\right| \lt \epsilon }\).
Wówczas \(\displaystyle{ a_{n} \in \textbf{U}\left (g;\epsilon\right)}\). Zatem prawie wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ \left (a_{n}\right)}\) należą do ograniczonego zbioru, będącego otoczeniem jego granicy. Jeżeli nierówność \(\displaystyle{ \left |a_{n}-g\right| \lt \epsilon}\) jest spełniona także dla \(\displaystyle{ n \leqslant N}\) to wówczas do otoczenia granicy
ciągu \(\displaystyle{ \left (a_{n}\right)}\) należą jego wszystkie wyrazy czyli wyrazy od \(\displaystyle{ a_{1}}\) do \(\displaystyle{ a_{N}}\) i wyrazy od \(\displaystyle{ a_{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) zmierza do nieskończoności. Wówczas cały ciąg \(\displaystyle{ \left (a_{n}\right)}\) jest ograniczony.
Jeżeli natomiast początkowe wyrazy ciągu nie należą do otoczenia jego granicy to i tak muszą one należeć do pewnego ograniczonego zbioru, ponieważ liczba tych wyrazów jest skończona. Z tego wynika, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ \left (a_{n}\right)}\) należą do sumy przedziałów ograniczonych, a więc ciąg \(\displaystyle{ \left (a_{n}\right)}\) jest ograniczony.

Rozumujesz dobrze, ale dobry pomysł to jeszcze nie formalny dowód - dowód formalny musi odnosić się do definicji ciągu ograniczonego i musi wskazać (jakieś) konkretne ograniczenie.

Dwie uwagi, które mogą pomóc w formalizacji powyższego nieformalnego dowodu:
1. Zupełnie niepotrzebnie zajmujesz się "dowolnie małą liczby dodatnią \(\displaystyle{ \epsilon}\)" - dowolność nie jest Ci do niczego potrzebna, a w ten sposób tracisz konkretność. Ustal sobie \(\displaystyle{ \epsilon=1.}\)
2. Zupełnie niepotrzebnie zajmujesz się dwoma możliwościami tego, co dzieje się na początku ciągu - nie ma co liczyć na to, że zajdzie sytuacja sprzyjająca, to nic nie wnosi do dowodu.

A teraz spróbuj wskazać konkretne ograniczenie: jego definicja może zależeć od granicy ciągu i pewnej skończonej liczby jego wyrazów.

JK

To może tak: \(\displaystyle{ \qquad}\)
z definicji wynika, że jeżeli \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to \infty }a_{n}=g}\) to dla dowolnej liczby dodatniej \(\displaystyle{ \epsilon}\) istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ N}\), że dla każdej liczby \(\displaystyle{ n \gt N}\) jest \(\displaystyle{ a_{n} \in \mathbb{U}\left (g;\epsilon\right)}\). Niech \(\displaystyle{ \epsilon = 1}\). Wówczas prawie wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ \left (a_{n}\right)}\) należą do zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{U}\left (g;1\right)}\). Jest to zbiór ograniczony z dołu przez liczbę \(\displaystyle{ g-1}\) i z góry przez liczbę \(\displaystyle{ g+1}\). Niech \(\displaystyle{ g-1=m_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ g+1=M_{0}}\).
Musimy następnie znaleźć ograniczenie dolne i górne dla zbioru początkowych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ \left (a_{n}\right)}\). Ponieważ liczba tych wyrazów jest skończona to musi istnieć dla nich ograniczenie dolne i górne. Wybierzmy zatem spośród wszystkich tych wyrazów wyraz najmniejszy i wyraz największy. Oznaczmy wyraz najmniejszy jako \(\displaystyle{ m_{1}}\) oraz wyraz największy jako \(\displaystyle{ M_{1}}\). Wówczas \(\displaystyle{ m_{1}}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru początkowych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ \left (a_{1},...,a_{N}\right)}\) zaś \(\displaystyle{ M_{1}}\) jest ograniczeniem górnym tego zbioru. Mamy zatem dwa ograniczenia dolne: \(\displaystyle{ m_{o}}\) i \(\displaystyle{ m_{1}}\) oraz dwa ograniczenia górne: \(\displaystyle{ M_{0}}\) i \(\displaystyle{ M_{1}}\). Należy zatem wybrać najmniejszą spośród liczb \(\displaystyle{ \left (m_{0};m_{1}\right)}\): oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ m }\) oraz największą spośród liczb \(\displaystyle{ \left (M_{0};M_{1}\right)}\): oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ M}\). Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ n}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \left |a_{n}\right| \gt m}\) oraz \(\displaystyle{ \left |a_{n}\right| \lt M}\). Ale ponieważ \(\displaystyle{ M \gt m}\) to ostatecznie jest \(\displaystyle{ \left |a_{n}\right| \lt M }\). Co z definicji daje nam, że ciąg \(\displaystyle{ \left (a_{n}\right)}\) jest ograniczony.

Prawie dobrze. Dokładnie o to chodzi, ale

smo pisze: 16 lis 2025, o 18:22 To może tak: \(\displaystyle{ \qquad}\)Należy zatem wybrać najmniejszą spośród liczb \(\displaystyle{ \left (m_{0};m_{1}\right)}\): oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ m }\) oraz największą spośród liczb \(\displaystyle{ \left (M_{0};M_{1}\right)}\): oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ M}\). Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ n}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \left |a_{n}\right| \gt m}\) oraz \(\displaystyle{ \left |a_{n}\right| \lt M}\). Ale ponieważ \(\displaystyle{ M \gt m}\) to ostatecznie jest \(\displaystyle{ \left |a_{n}\right| \lt M }\).

to akurat nieprawda. Rozważ ciąg \(\displaystyle{ a_n=-3+\frac{4\cdot(-1)^n}{n+1}}\). Wtedy \(\displaystyle{ g=-3, N=3, M_0=-2, m_0=-4, M_1=1, m_1=-5, M=1, m=-5,}\) natomiast warunek \(\displaystyle{ \left |a_{n}\right| \lt M }\) jest bardzo nieprawdziwy - nie spełnia go żaden wyraz...

Pokazałeś, że \(\displaystyle{ m\le a_n\le M}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) i to wystarczy do stwierdzenia, że ciąg jest ograniczony. Natomiast gdybyś chciał mieć tylko jedno ograniczenie na górę i dół, to trzeba wziąć np. \(\displaystyle{ \overline{M}=\max\{|m|,|M|\}+1,}\) wtedy warunek \(\displaystyle{ \left |a_{n}\right| \lt \overline{M}}\) będzie spełniony dla \(\displaystyle{ n\in\NN.}\)

JK

Jan Kraszewski z maestrią przeprowadził Cię przez meandry dowodu wprost.
Chciałbym Cię zachęcić do spróbowania innej drogi:
Pokaż, że jeżeli ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest nieograniczony, to da się z niego wybrać podciąg \(\displaystyle{ a_{n_k}}\), taki, że dla dowolnych \(\displaystyle{ i\neq j}\)
\(\displaystyle{ |a_{n_i}-a_{n_j}|>1}\) .

Stąd wyciągnij wniosek, że \(\displaystyle{ a_n}\) nie może być zbieżny.

Jasne, przez nieuwagę dałem \(\displaystyle{ \left |a_{n}\right| \gt m}\) i \(\displaystyle{ \left |a_{n}\right| \lt M }\) zamiast
\(\displaystyle{ a_{n} \geqslant m }\) oraz \(\displaystyle{ a_{n} \leqslant M }\). A to ogromna różnica bo np. gdy
prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do otoczenia jego granicy to spełniona jest podwójna nierówność
\(\displaystyle{ g-\epsilon \lt a_{n} \lt g+\epsilon}\) a niekoniecznie \(\displaystyle{ g-\epsilon \lt \left |a_{n}\right| \lt g+\epsilon }\).
I faktycznie podwójna nierówność \(\displaystyle{ m \leqslant a_{n} \leqslant M}\) stwierdza jednoznacznie, że liczba \(\displaystyle{ m}\) jest ograniczeniem dolnym ciągu \(\displaystyle{ \left (a_{n}\right)}\) natomiast liczba \(\displaystyle{ M}\) jest ograniczeniem górnym tego ciągu. I zastąpienie w tej nierówności znaku \(\displaystyle{ \lt}\) znakiem \(\displaystyle{ \leqslant}\) jest bardziej ścisłe, ponieważ ciąg może być stały.
Jeszcze raz dzięki za wyjaśnienie.

D

a4karo pisze: 16 lis 2025, o 20:46 Jan Kraszewski z maestrią przeprowadził Cię przez meandry dowodu wprost.
Chciałbym Cię zachęcić do spróbowania innej drogi:
Pokaż, że jeżeli ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest nieograniczony, to da się z niego wybrać podciąg \(\displaystyle{ a_{n_k}}\), taki, że dla dowolnych \(\displaystyle{ i\neq j}\)
\(\displaystyle{ |a_{n_i}-a_{n_j}|>1}\) .

Stąd wyciągnij wniosek, że \(\displaystyle{ a_n}\) nie może być zbieżny.

Dzięki za podpowiedź. Spróbuję.

D