Matematyka.pl

Rzucamy sześcienną kostką do gry aż do wypadnięcia szóstki i niech \(\displaystyle{ n}\) oznacza numer ostatniego rzutu. Następnie losujemy liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ \{1, 2, 3, . . . , n!\}}\) (każda liczba jednakowo prawdopodobna).
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy \(\displaystyle{ 1}\)?
(b) Załóżmy, że wylosowaliśmy \(\displaystyle{ 5}\). Jaka jest szansa, że rzuciliśmy dokładnie 3 razy kostką?

a)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1!}+ \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2!}+ (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3!}+ ....= \frac{1}{6} \sum_{n=1}^{ \infty } (\frac{5}{6})^{n-1} \cdot \frac{1}{n!} = \\
=\frac{1}{5} \sum_{n=1}^{ \infty } (\frac{5}{6})^{n} \cdot \frac{1}{n!}=\frac{1}{5} (- (\frac{5}{6})^0 \frac{1}{0!} + \sum_{n=0}^{ \infty } (\frac{5}{6})^{n} \cdot \frac{1}{n!} )=\frac{1}{5}(-1+e^{ \frac{5}{6} })
}\)

b) A- rzuciliśmy dokładnie 3 razy kostką
B - wylosowaliśmy \(\displaystyle{ 5}\)

\(\displaystyle{ P(A|_B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}= \frac{( \frac{5}{6} )^2 \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3!} }{ \frac{1}{6} \sum_{n=3}^{ \infty } (\frac{5}{6})^{n-1} \cdot \frac{1}{n!}}=... }\)