Matematyka.pl

Witam, czy mógłby mi ktoś wyjaśnić, w jaki sposób oblicza się kąt wewnętrzny w okręgu i kąt zewnętrzny okręgu?

Czy prawidłowo rozumiem temat:
1. Kąt wewnętrzny okręgu:
Jeżeli w okręgu poprowadzimy dwie cięciwy, AB i CD, które przecinają się w punkcie E, to miara kąta wewnętrznego np. AED jest równa połowie sumy kątów środkowych opartych na łukach CB i AD? Załóżmy, że łuk CB jest mniejszy niż łuk AD, to mimo to kąty wewnętrzne CEB i AED będą takie same? mimo, że wychodzą z łuków o różnej długości?

2. Kąt zewnętrzny:
Jeżeli z punktu E, leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzimy dwie sieczne, pierwsza będzie przecinała okrąg w punktach AB a druga w punktach CD, to miara kąta zewnętrznego BED będzie równa połowie różnicy kątów środkowych opartych na łukach BD i AC?

3. W takim razie kąt środkowy jest jakby równy faktycznej długości łuku na jakim jest oparty, a kąt wpisany jeśli wziąć pod uwagę wzór na kąt wewnętrzny, czyli połowa sumy kąta środkowego i drugiego ( w tym przypadku kąt zerowy), to stąd wychodzi, że wpisany jest dokładnie dwa razy mniejszy niż środkowy?

4. Czy kąt zewnętrzny, który jest odległy o promień tego okręgu to czy nie będzie dwa razy mniejszy niż wpisany oparty na tym samym łuku?

Proszę o wyjaśnienie , bo w szkole średniej nie wytłumaczyli tego?

Damieux pisze: 5 paź 2025, o 21:32 1. Kąt wewnętrzny okręgu:
Jeżeli w okręgu poprowadzimy dwie cięciwy, AB i CD, które przecinają się w punkcie E, to miara kąta wewnętrznego np. AED jest równa połowie sumy kątów środkowych opartych na łukach CB i AD? Załóżmy, że łuk CB jest mniejszy niż łuk AD, to mimo to kąty wewnętrzne CEB i AED będą takie same? mimo, że wychodzą z łuków o różnej długości?

Owszem, są to przecież kąty wierzchołkowe. Po drugie to nie są kąty wpisane, więc mogą opierać się na łukach różnej długości.

2. Kąt zewnętrzny:
Jeżeli z punktu E, leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzimy dwie sieczne, pierwsza będzie przecinała okrąg w punktach AB a druga w punktach CD, to miara kąta zewnętrznego BED będzie równa połowie różnicy kątów środkowych opartych na łukach BD i AC?

Tak.

3. W takim razie kąt środkowy jest jakby równy faktycznej długości łuku na jakim jest oparty, a kąt wpisany jeśli wziąć pod uwagę wzór na kąt wewnętrzny, czyli połowa sumy kąta środkowego i drugiego ( w tym przypadku kąt zerowy), to stąd wychodzi, że wpisany jest dokładnie dwa razy mniejszy niż środkowy?

Można tak na to spojrzeć, chociaż dowód trzeba raczej zrobić w odwrotnej kolejności.

4. Czy kąt zewnętrzny, który jest odległy o promień tego okręgu to czy nie będzie dwa razy mniejszy niż wpisany oparty na tym samym łuku?

Co to znaczy, że kąt zewnętrzny jest odległy o promień tego okręgu?

PS Pierwszy raz spotykam się z nazwą "kąt wewnętrzny/zewnętrzny okręgu". Skąd pochodzą te zadania?

nazwa "kąt zewnętrzny", "kąt wewnętrzny" to ja wymyśliłem, podałem przykład z głowy, dziękuję za odpowiedź

kąt zewnętrzny odległy o promień okręgu, miałem na myśli wierzchołek, z której prowadzę dwie sieczne do okręgu, że leży dokładnie w odległości jednego promienia tego okręgu, będący na prostej przechodzącej przez środek okręgu i tym wierzchołku