Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{(np-1)!}{(n-1)!p^{n-1}} \equiv (-1)^n \ (\bmod p)}\), gdy \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą.

Jak ten ułamek wyliczyć np. dla: \(\displaystyle{ n=2 , p=3}\)

Może tak:
\(\displaystyle{ \frac{(2 \cdot 3-1)!}{(2-1)!3^{2-1}}= \frac{5!}{3}=40 \\\
40 \bmod 3=1 \\
(-1)^2=1 }\),
więc:
\(\displaystyle{ \frac{(2 \cdot 3-1)!}{(2-1)!3^{2-1}} \bmod 3 =(-1)^2}\)

indukcyjnie:

\(\displaystyle{ n=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{(p-1)!}{0!p^0} =(-1)^1=-1 \bmod p}\)

dla : \(\displaystyle{ n+1}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left[ (n+1)p-1\right]! }{n!p^n}= \frac{\left[ pn-1\right]!(pn)(pn+1)...(pn+p-1) }{(n-1)!p^{n-1} \cdot np}
=}\)

\(\displaystyle{ = \frac{(np-1)!}{(n-1)!p^{n-1}} \cdot \frac{(pn)(pn+1)...(pn+p-1)}{np} =\\=(-1)^n \cdot \left( 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (p-1)\right) =(-1)^n \cdot (-1)=(-1)^{n+1} \bmod p}\)

cnd...

wsk:

licznik i mianownik ułamka musi posiadać p w tej samej potędze, po to aby sensownie go skrócić...