Matematyka.pl

Równanie to ma już ponad 40 lat. Autora nieco poniosło Znam tylko do niego odpowiedź.

\(\displaystyle{ \tg^{2}x \cdot \tg^{2}3x \cdot \tg4x=\tg^{2}x- \tg^{2}3x+\tg4x }\).

A mianowicie: \(\displaystyle{ k \pi , \frac{ \pi }{4}+ \frac{k \pi }{2} }\).

Hint:

Ja bym skorzystał, po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę, z:
\[\tg^23x-\tg^2x=(\tg\ 3x-\tg\ x)\cdot(\tg\ 3x+\tg\ x)\]
i po zapisaniu warunków istnienia - pomnożył przez \(\cos^2 x\cos^2 3x \cos\ 4x\), wyłączył przed nawias \(\sin\ 4x\) i zajął się wyrażeniem w nawiasie ...

Pozdrawiam

co proponujesz zrobić w nawiasie? bo poza chyba różnicą kwadratów nic innego nie wiedzę, no i światełka w tunelu też nie widzę

Kiedyś, pamiętam, była taka szufladka na zadania nierozwiązane. Jeżeli nadal taka istnieje, to rozumiem, że "moje" zadanie trafia do takiej szufladki?

Dlaczego "nierozwiązane"?

Opisywane przeze mnie wyrażenie z nawiasu przyjmuje postać:
\[g(x)=\sin^2x\sin^23x+\sin\ 2x\cos 4x-\cos^2x\cos^23x\]
Jeszcze raz ten sam "numer":
\[\sin^2x\sin^23x-\cos^2x\cos^23x=\\=-(\cos\ 3x\cos\ x+\sin\ 3x\sin\ x)(\cos\ 3x\cos\ x-\sin\ 3x\sin\ x)=\\=-\cos(3x-x)\cos(3x+x)\]
i otrzymujemy
\[g(x)=-\cos\ 2x\cos\ 4x+\sin\ 2x\cos 4x=\cos\ 4x(\sin 2x-\cos 2x)\]
Ostatecznym rozwiązaniem danego równania są wszystkie zmienne z dziedziny takie, że
\[\sin\ 4x =0\vee\cos\ 4x=0\vee\sin\ 2x=\cos\ 2x\]
Pozdrawiam
PS. Odpisujemy, jak mamy czas na wizytę na Forum!

Przebrnąłem