Matematyka.pl

Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi to \(\displaystyle{ \frac{(a+b-1)!}{a!b!}}\) jest liczbą całkowitą.

Z Newtona
1. \(\displaystyle{ \binom{a+b}{a}=\frac{(a+b)!}{a!b!}}\) stąd
2. \(\displaystyle{ (a+b)!=\binom{a+b}{a}a!b!}\)
3. \(\displaystyle{ (a+b)(a+b-1)!=\binom{a+b}{a}a!b!}\)
4. \(\displaystyle{ (a+b-1)!=\frac{\binom{a+b}{a}a!b!}{(a+b)}}\)

Po podstawieniu wynikiem jest
5. \(\displaystyle{ \frac{\binom{a+b}{a}}{(a+b)}}\)
Jak widać ze wzoru (1.) ułamek jest liczba całkowitą

Dlaczego?

gdyż \(\displaystyle{ a {a+b \choose a}= (a+b){a+b-1 \choose a-1}}\) jak i \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ a+b}\) są względnie pierwsze.