Niech \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\) będzie funkcją różniczkowalną. Z punktu \(\displaystyle{ P}\) na płaszczyźnie poprowadzono półprostą, która przecięła wykres funkcji w dwóch punktach \(\displaystyle{ A=(a,f(a)), B=(b,f(b))}\). Pokazać, że pomiędzy punktami `A` i `B` istnieje punkt `C` na wykresie funkcji taki, że prosta `PC` jest styczna do wykresu
Re: Styczna - konkurs na najprostszy dowód
: 23 sie 2025, o 20:36
autor: Dasio11
Kontrprzykład:
\(\displaystyle{ f(x) = x^2}\), \(\displaystyle{ P = (0, 0)}\), półprosta = \(\displaystyle{ \{ (x, x) : x \ge 0 \}}\) (dla \(\displaystyle{ C=P}\) sformułowanie "prosta \(\displaystyle{ PC}\)" nie ma sensu).
Dowód:
...przy założeniu że \(\displaystyle{ P \notin \{ A, B \}}\), a także bez straty ogólności \(\displaystyle{ P = (0, 0)}\) i \(\displaystyle{ 0 < a < b}\).
Na przedziale \(\displaystyle{ [a, b]}\) funkcja \(\displaystyle{ g(x) = \frac{f(x)}{x}}\) spełnia założenia twierdzenia Rolle'a, więc istnieje \(\displaystyle{ c \in (a, b)}\), takie że \(\displaystyle{ g'(c) = 0}\). Po uproszczeniu oznacza to, że \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(c)}{c}}\), czyli \(\displaystyle{ C = (c, f(c))}\) jest taki jak trzeba.
Re: Styczna - konkurs na najprostszy dowód
: 4 wrz 2025, o 23:28
autor: a4karo
Oczywiście `P` powinien być różny od `A` i `B`, przepraszam za niedoróbkę
Re: Styczna - konkurs na najprostszy dowód
: 26 paź 2025, o 18:52
autor: Kartezjusz
kontrprzykład
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ f(x) =-x^2+4}\) \(\displaystyle{ P=(-3,0)}\)
Półprosta: \(\displaystyle{ y=0 }\) dla \(\displaystyle{ x \ge -3}\)
Zapewne chodziło o istnienie innej półprostej wychodzącej z P, że ta jest styczna czy prostej równoległej ?
Re: Styczna - konkurs na najprostszy dowód
: 26 paź 2025, o 19:03
autor: a4karo
Chodzi o to, że z `P` da się poprowadzić styczną do krzywej. W Twoim przykładzie akurat da się
Re: Styczna - konkurs na najprostszy dowód
: 21 sty 2026, o 23:47
autor: Kartezjusz
Szkic:
Ukryta treść:
Zamiana na współrzędne biegunowe jest przekształceniem ciągłym i różniczkowalnym , zatem funkcja ciągła i różniczkowalną - taką pozostaje po zmianie na współrzędne biegunowe. Jeśli chcemy z P wypuszczać półproste , to jak znaleźliśmy jedną określoną punktem P i jakimś kątem do osi , to ta prosta styczna powstaje z obrócenia wyjściowej półprostej o pewien kąt, co w języku współrzędnych biegunowych oznacza przesunięcie jej wzdłuż osi kątowej zatem obrazuje się w ten sposób twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej dla funkcji f we współrzędnych biegunowych
Re: Styczna - konkurs na najprostszy dowód
: 24 sty 2026, o 08:56
autor: a4karo
Kłopot z powyższym rozwiązaniem jest taki, że coś, co jest wykresem funkcji w układzie kartezjańskim, niekonieczne jest wykresem funkcji w układzie biegunowym.