Matematyka.pl

Silnik o mocy \(\displaystyle{ P_1}\) napędza pompę, która przepompowuje przez poziomą rurę pewną masę wody \(\displaystyle{ m}\). Jaka powinna być moc silnika \(\displaystyle{ P_2}\), aby pompa w tym samym czasie przepompowała dwa razy większą ilość wody.

Jak to rozwiązać?

Propozycja rozwikłania zagadnienia

Moc pompy \(\displaystyle{ P}\) jest wprost proporcjonalna do trzeciej potęgi prędkośći obrotowej \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \frac{P _{1} }{P _{2} }=\left( \frac{n _{1} ^{3} }{n ^{3} _{2} } \right)}\), (1), stąd moc po dwukrotnym zwiększeniu prędkości obrotowej \(\displaystyle{ n _{2} =2n _{1} }\), jest równa
\(\displaystyle{ P _{2}=P _{1}\left( \frac{2n _{1} }{n _{1} } \right) ^{3} =8P _{1} }\)

/Wydatek-wydajność \(\displaystyle{ Q \quad m ^{3}/s }\) pompy zależy m. innymi od prędkości obrotowej silnika napędzającego pompę/

No dobrze, ale skąd wiemy, że moc pompy jest wprost proporcjonalna do trzeciej potęgi prędkości obrotowej? Tutaj nic nie jest powiedziane na ten temat.

Z teorii maszyn przepływowych tkzw. podobieństwo dynamiczne przepływu.

To aż taka zaawansowana teoria jest do tego potrzebna? To jest zadanie ze szkoły średniej, więc rozwiązanie powinno być w miarę elementarne. A możesz jakoś wyprowadzić ten wzór z trzecimi potęgami? Nie wiem skąd to się bierze.

Rozumiem Twoje zafrasowanie. To była propozycja rozwiązania jak zaznaczyłem w pierwszym zdaniu.
Ciekawy jestem, jaka jest odpowiedz do tego zadania.

Odpowiedź jest prawidłowa to znaczy \(\displaystyle{ P_2=8P_1}\), ale jak można dojść do tego rozwiązania?

max123321 pisze: 18 sie 2025, o 16:55 No dobrze, ale skąd wiemy, że moc pompy jest wprost proporcjonalna do trzeciej potęgi prędkości obrotowej?

Z analizy wymiarowej. Wat to \(\displaystyle{ \frac{kg\cdot m^2}{s^3}}\), więc jeśli prędkość obrotowa jest jedyną istotną wielkością, która zawiera w swojej jednostce sekundę, to moc musi być proporcjonalna do jej trzeciej potęgi.

Skąd to zadanie pochodzi?

A skąd wiemy, że coś wiruje ? czy pompa nie może tłoczyć bądź też wykonywać inne rzeczy....?

Może, i wykonuje to z pewną częstotliwością. Moc jest proporcjonalna do trzeciej potęgi tej częstotliwości.

Ok, AiDi racja, to ma sens. W sumie to z tej pompy niewiele nas interesuje poza częstotliwością jej działania i nic poza tym nie musimy wiedzieć. Jednak zastanawia mnie inna rzecz.

Bo z tego wynika, że z tych jednostek zachodzi wzór \(\displaystyle{ P=M \cdot S^2 \cdot T^3}\), gdzie \(\displaystyle{ M}\)-masa, \(\displaystyle{ S}\)-odległość i \(\displaystyle{ T}\)-częstotliwość. To zadanie w zasadzie sprowadza się do tego, co się stanie jeśli dwukrotnie zwiększymy częstotliwość i oczywiście wtedy moc zwiększy się \(\displaystyle{ 8}\)-krotnie.

Natomiast jak sformułować należałoby pytanie do tego zadania, gdybyśmy nie zwiększali częstotliwości dwukrotnie, a po prostu masę byśmy zwiększyli dwukrotnie i czy to ma sens? Innymi słowy, czy pytanie o to jaka by była moc, gdybyśmy masę zwiększyli dwukrotnie ma sens albo ewentualnie jak trzeba by było wtedy sformułować to pytanie. No bo moc jest przecież proporcjonalna do masy.

Masę czego?

Masę wody, którą przepompowuje pompa.

Od całkowitej masy nie zależy, bo moc jest wielkością chwilową (to pochodna, a nie całka). Raczej od ciężaru płynu przepompowanego w jednostce czasu - przynajmniej tak to rozumiem po małym "riserczu" w googlu. Ale tu też czas pojawia się w trzeciej potędze.

Znalazłem wzór na moc pompy, ale zupełnie nie uwzględnia on mechanizmów wewnętrznych tejże. Ja się na takich praktycznych rzeczach nie znam, więc wracam do pytania które już zadałem - skąd pochodzi to zadanie?

To zadanie jest z książki "Zbiór zadań z fizyki" autorstwa m.in Kruczka. do szkoły średniej. Taka niebieska książeczka. Przeznaczona dla uczniów liceów oraz kandydatów na studia. Także raczej nie powinna tu być potrzebna jakaś wiedza o konstrukcji pomp.