Matematyka.pl

Udowodnić, że żaden pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ x^5 - x^4 - 4x^3+4x^2+2}\) nie jest w formie \(\displaystyle{ \sqrt[n]{w}}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, zaś \(\displaystyle{ w}\) jest liczbą wymierną.

Gdyby liczba \(\displaystyle{ \sqrt[n]{w}}\) była pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^5 - x^4 - 4x^3+4x^2+2}\), to liczba `w` byłaby pierwiastkiem wymiernym wielomianu \(\displaystyle{ x^{5n} - x^{4n} - 4x^{3n}+4x^{2n}+2}\).
Łatwo sprawdzić, że dla żadnego `n` ani `1` ani `-1` nie sa pierwiastkami, zaś dla `x=\pm 2` wyrażenie
\(\displaystyle{ x^{5n} - x^{4n} - 4x^{3n}+4x^{2n}+2}\) jest parzyste, ale nie jest podzielne przez `4`, zatem nie może być zerem. Innych pierwiastków wymiernych być nie może, co dowodzi prawdziwości tezy