Matematyka.pl

Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x(y^2+1)}{ x^2+y^2} = \frac{3}{5} \\ \frac{y(x^2-1)}{ x^2+y^2} = \frac{4}{5} .\end{cases}}\)

Skoro \(\displaystyle{ xy \neq 0}\) to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{(y^2+1)}{ x^2+y^2} =\frac{3}{5x} \\ \frac{(x^2-1)}{ x^2+y^2} = \frac{4}{5y} \end{cases}}\)
Dodając stronami mam:
\(\displaystyle{ 1= \frac{3}{5x} + \frac{4}{5y}}\)
a stąd:
\(\displaystyle{ y= \frac{4x}{5x-3} }\)
Wartość tę wstawiam do drugiego równania układu \(\displaystyle{ 5y(x^2-1)=4(x^2+y^2)}\)
Po przekształceniach mam:
\(\displaystyle{ \frac{x(x-3)(3x-1)}{(5x-3)}=0 }\)
co daje rozwiązania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3\\ y=1 \end{cases} \ \ \vee \ \ \begin{cases} x= \frac{1}{3} \\ y=-1 \end{cases} }\)