Matematyka.pl

Udowodnić, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{\log(n+1)}{\log(n)} }\) jest malejący.

Aż się prosi, żeby skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ \log\log x}\) jest wklęsła dla \(\displaystyle{ x>1}\), ale okazuje się, że można prościej:

\(\displaystyle{ \frac{\log(n+1)}{\log n}-1=\frac{\log(n+1)-\log(n)}{\log(n)}=\frac{\log\left(1+\frac1n\right)}{\log(n)}}\) maleje, bo licznik maleje a mianownik rośnie

A inne sposoby ?

Z tw. Lagrange'a
\(\displaystyle{ \log\frac{\log(n+1)}{\log(n)}=\log\log(n+1)-\log\log(n)=\frac{1}{\xi_1\log \xi_1}}\) gdzie \(\displaystyle{ n<\xi_1<n+1}\)
i
\(\displaystyle{ \log\frac{\log(n+2)}{\log(n+1)}=\log\log(n+2)-\log\log(n+1)=\frac{1}{\xi_2\log \xi_2}}\) gdzie \(\displaystyle{ n+1<\xi_2<n+2}\).
A ponieważ \(\displaystyle{ x\log x}\) rośnie ....

Kiedy można uogólnić dla \(\displaystyle{ f}\) o wzroście słabszym niż liniowy

Każda funkcja taka że `\log f` jest wklęsła

Rozpatrzmy funkcję \(\displaystyle{ y= \frac{\log(x+1)}{\log(x)} }\)

Dla \(\displaystyle{ x\in \mathbb{N}}\) funkcja ta przyjmuje wartości ciągu \(\displaystyle{ a _{n} =\frac{\log(n+1)}{\log(n)} }\)

Łatwo pokazać, że ta funkcja jest malejąca i że \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{\log(x+1)}{\log(x)} =1}\)
a więc ciąg \(\displaystyle{ a _{n} =\frac{\log(n+1)}{\log(n)} }\) jest też malejący.

ta funkcja jest malejąca

tj, wyznaczając pochodną ?