Matematyka.pl

Są to układy liczb pierwszych \(\displaystyle{ p, p + 2, p + 6, p + 8, 2p+1}\). Czy pięcioraczki istnieją ? Ile ich jest ?

Jak widać pierwsze 4 pierwsze to liczby czworacze. Takich jest od groma. Pozostała nieparzysta która może być pierwsza ale ponieważ czworaczych od groma to i takich pięcioraczków pewnie tyle. \(\displaystyle{ 11, 13, 17, 19, 23}\)

Istnieją, przykład został już wskazany.

Dodatkowa, banalna obserwacja: dla \(\displaystyle{ p=5}\) lub \(\displaystyle{ p=7}\) mamy redukcję do "czworaczków".

W ogólnym przypadku mamy tutaj koniunkcję dwóch niezależnych problemów, z których oba są na dzień dzisiejszy nierozstrzygnięte:

- czy liczb pierwszych czworaczych jest nieskończenie wiele
- czy liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) takich, że \(\displaystyle{ 2p+1}\) też jest liczbą pierwszą, jest nieskończenie wiele

Cała nadzieja w tym, że spełnienie (lub nie) obu tych warunków jednocześnie jest łatwiejsze do ustalenia.