Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{ || \sqrt{n} || }+ 2^{- || \sqrt{n} || }}{2^n}=3 }\), gdzie \(\displaystyle{ ||x|| = \lfloor x+ \frac{1}{2} \rfloor}\).

wystarczy popatrzeć i zauważyć, że ta suma to:

\(\displaystyle{ 2^n \sum_{k=n^2-n+1}^{n^2+n} \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^n} \sum_{k=n^2-n+1}^{n^2+n}\frac{1}{2^k} =}\)

\(\displaystyle{ = \left( 2^n+ \frac{1}{2^n} \right) 2^{-n^2-n}\left( 2^{2n}-1\right) }\)

mamy teraz już sumę zależną tylko od \(\displaystyle{ n}\) po wymnożeniu i dodaniu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{n^2-2n}} - \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{n^2}} }\)

\(\displaystyle{ = 2 \cdot \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{n^2-2n+1}} -2 \cdot \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{n^2+2n+1}} }\)

\(\displaystyle{ =2 \cdot \left( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{(n-1)^2}} - \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{(n+1)^2}} \right)=2 \cdot \left( \frac{1}{1}+ \frac{1}{2} +\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{(n+1)^2}}- \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^{(n+1)^2}}\right)=2 \cdot \left( 1+ \frac{1}{2} \right) =2+1=3 }\)

cnd...