Uogólnione równanie diofantyczne

[dzialka11o]

Podaj uogólnione równanie diofantyczne ; w oparciu o nastepujacy "algorytm kamykowy" (*)
Wybierz dowolnie wybraną liczbę całkowitą ; (\(\displaystyle{ n}\))
1) liczbę tą podnieść do kwadratu ,
2) wybraną liczbę powiększ czterokrotnie,
3) dodaj te wartości w punktcie 1) i w punktcie 3) ,
4) do wyniku w punkcie 3) dodaj liczbę całkowitą równą "cztery" . ? (uzasadnij dlaczego akurat tą )
Zauważmy: otrzymamy liczbę całkowitą , której pierwiastek stanowi liczę całkowitą .( bez reszty)
( to metoda kamykowa , znana Platonowi jak i Bailoczykom , gdzie rozwój arytmetyki
szedł w parze z rozwojem numerologji )(*)
Wskazówka : do dowolnie wybranej liczby (\(\displaystyle{ n}\)) dodaj liczbę całkowitą " dwa ", ??
następnie wynik ten podnieść do kwadratu .
T.W.

[dzialka11o]

Ciąg dalszy:
Mała korekta ; ( dotycząca punktu 3)
Wybierz dowolną liczbę całkowitą \(\displaystyle{ n}\)
1) liczbę tą podnieść do kwadratu ,
2) wybraną liczbę powiększ czterokrotnie,
3) dodaj te wartości obliczone w punktcie 1) i obliczone w punktcie 2) ,
4) do wyniku w punkcie 3) dodaj liczbę całkowitą równą "cztery" . ? (uzasadnij dlaczego akurat tą )

Równie ciekawa "relacja kamykowa " ( diofantyczna )
Do dowolnie wybranej liczby n dodaj liczbę cztery ,
wartość tego wyrażenia podnieść do kwadratu .
Otrzymamy wynik stanowi liczbę całkowitą , taką
której pierwiastek tej liczby stanowi liczbę całkowitą (bez reszty)
Zauważmy że powyższe uklady równań można rozwiązać też , bez koniecznosci obliczania " delty "
(tzn obliczania pierwiastków dla dowolnych rownań diofantycznych )

[dzialka11o]

Jest i taka możliwa kombinacja logiczna :
1) wybierz dowolną ilość kamyków , \(\displaystyle{ X}\)
2) do tej ilaści dodaj dwa kamyki , \(\displaystyle{ X+2}\)
3) sumę tych kamyków podnieść do kwadratu ( to ilczba kamyków
których pierwiastek z ilości tych kamyków stanowi liczbą calkowitą , bez reszty )
Po spierwiastkowaniu stronami tego równania otrzymamy wyrażenie \(\displaystyle{ x+2 = ?}\)
4) od tego wyniku w punktcie 3) odejmji cztery kamyki .
Tu pytanie ; jak znaleść wartość wyrażenia \(\displaystyle{ X+2 = ?}\) w tej kombinacji kamykowej ,
jak obliczyć niewiadomą X wybranych kamyków ?
T.W.

[dzialka11o]

Kombinacja odwrotna :
Aby znaleść wartość wyrażeni \(\displaystyle{ X+2}\) (*) obadajmy tą kombinacje kamykową w kierunky odwrotnym .(tzn od końca)
Otrzymamy dość prosty układ szukanego uogólnionego równania diofantycznego :
\(\displaystyle{ (y-2)(y+2) = X(x +4 )}\)
Wystarczy wybrać dowolną wartość \(\displaystyle{ Y}\) w liczbach całkowitych i wstawić do powyzszego równania
lub porównać te iloczyny .aby znaleść niewiadomą \(\displaystyle{ X}\) ?
(*) Podnieśmy to wyrażeie do potęgi drugiej i porównaj z wyrażeniem \(\displaystyle{ X(X+4) +4 }\)
T.W.

[dzialka11o]

Zauważmy że powyższe równanie nie zawiera wszystkich rozwiązań w liczbach całkowitych ;
dla dowolnie wybranej wartości \(\displaystyle{ y}\) gdzie \(\displaystyle{ y=3; 4; 5; 6\ldots}\) itd.)
-
Wybierzmy dowolną liczbę kamyków \(\displaystyle{ z = y+x}\) ;( taką gdzie \(\displaystyle{ y}\) nie równa się \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ z =3; 4; 5 6\ldots}\) itd. )
Podnieśmy stronami tą zależność do potęgi drugiej ;
\(\displaystyle{ zz= yy +2xy +xx}\)
To jedno z wielu uogólnionych równanań diofantyczneych.
wg formuły algebraicznej (znane babilńczykom w Starożytnym Egiptcie
na dlługo przed budową piramid , którym pojęcie potęgi nie było znane )
-
Przykładowo wybierzmy \(\displaystyle{ z=7}\) (kamyków )
Możliwa ilość kombinacji kamykowych
\(\displaystyle{ z= y+x}\)
\(\displaystyle{ 7= 6+1}\) ; stąd \(\displaystyle{ 49= 36+12 + 1}\)
\(\displaystyle{ 7= 5+2}\) ; stąd \(\displaystyle{ 49= 25+20 +4}\)
\(\displaystyle{ 7= 3+4}\) ; stąd \(\displaystyle{ 49= 9+24 +16}\)
\(\displaystyle{ 7= 2+5}\) ; stąd \(\displaystyle{ 49= 4++20 +25}\)
\(\displaystyle{ 7= 1+6}\) ; stąd \(\displaystyle{ 49 = 1 +12 + 36}\)
Jak widać w tej kombinacji kamykowej jest pięć możliwych rozwiazań w liczbach całkowitych .

Pozdrawiam
T.W.

[dzialka11o]

Wybierzmy dowolnie wybrana liczbę naturalną : ( równą ; większą od trzech ); trzy ,cztery, pięć sześć . siedem , itd.
1) wybraną liczbę powiększmy dwukrotnie i odejmijmy jedynkę : ( w rozumieniu kamykowym odejmij jeden kamyk ) (*)
2) tą wybraną liczbę podnieśmy do kwadratu i odejmijmy jedynkę ; (*)
Zauważmy że wg tej powyższej procedury , otrzymamy szukane wyniki w liczbach calkowitych ,
W oparciu o równanie kosinusów dla kąta 60st. wyprowadźmy równanie diofantyczne ( z dwoma niewiadomymi )
Wstawmy odpowiednio te wyniki do tego równania diofantycznego .
Tym sposobem wyliczymy szukane " trójki " w liczbach naturalnych całkowitych
Takich trójek otrzymamy do chcenia ,
Zauważmy również , że wyniki wygenerowane wg procedury 1) w kolejności tworzą zbiór liczb nieparzystych
( pięć , siedem , dziewięć , jedenaście , trzynaście itd , ( w rozumieniu kamykowym tu kazdej
nastepnej dodajemy dwa kamyki )
PS.
( Okazuje się że to nie wszystkie i niejedyne trójki spełniające rownanie cosinusów w liczbach całkowitych
Pozdrawiam
T.W.

[dzialka11o]

Inne uwarunkowania kamykowe :
Liczba (czterdzieści dziewięć" ma ciekawą relację artmetyczną :
Jesli wybierzemy liczbę "czterdziesci dziewięć" i pomnożymy przez kwadrat "dowolnej liczby "całkowitej
to otrzymamy wynik zawsze w liczbach całkowitych .
Pierwiastek z tego wyniku jest zawsze liczbą całkowitą ,
-
Przykladowo:
Jeśli liczbe "czterdzieści dziewięć" pomnożmy przez kwadrat liczby np. trzynaście , to otrzymamy liczbę całkowitą
Jesli liczbę "czterdzieści dziewięc pomnożmy przez kwadrat liczby czternaście ( o jeden większą )
to również otrzymamy liczbę całkowitą
Pierwiastki z tych liczb sa liczbami całkowitymi
Wtym przykladzie :
Róznica między pierwiastkami otrzymanych wyników wynosi "siedem "
-
W ten sposób dla kolejnych liczb naturalnych : jeden , dwa ,trzy , cztery , .... itd.
otrzymamy zbiór liczb całkowitych : siedem ,czternaście , dwadzieścia jeden , dwadzieścia osiem ,,, itd.
-
Te kolejne liczby z tego zbioru w oparciu o procedurę 1) i 2) (*) umożliwiają znalezienie trójek
w liczbach całkowitych spełniające równanie z twierdzenia cosinusów . ( dla kąta 60st.)
_
Przykładowe takie trójki : dla kąta 60st.
trzy , osiem , siedem
pięc, osiem , siedem ,
dziesięć ,szesnaście, czternaście ,( powiększony dwukrotnie )
-
Przykładowe takie trójki : dla kąta 120st. spełniające twierdzenie cosinusów .
trzy , pięc , siedem , ( tu pytanie ; jak znaleziono tę trójkę diofantyczną ?)
sześć, dziesięc , czternaście , ( powiększony dwukrotnie )
dziewięć , pietnaście , dwadzieścia jeden ,( powiększony trzykrotnie )
W kolumnie ostatiej to : siedem , czternaście, dwadziescia jeden .
Dzięki za uwagę .
T.W.

[dzialka11o]

Ciąg dalszy :
Obadajmy zbiór liczb nieparzystych ( całkowitych , bez jedynki ): trzy , pieć , siedem , dziewięc ... itd .
Wybierzmy trzy kolejne liczby nieparzyste : trzy , piec , siedem
Otrzymamy naturalny trójkąt który spełnia równanie z twierdzenia cosinusów dla kąta 120 st.
Jest to jedyne rozwiązanie w liczbach całkowitych .
Jeżeli zaś ten trójkąt powiększymy kolejno ; dwukrotnie, trzykrotnie , czterokrotnie , pieciokrotnie itd.
to otrzymamy trójkąty w liczbach całkowitych , które też spełniaja warunki z twierdzenia kosinusów .
T.W.

[dzialka11o]

Trójkąty o secyficznch właściwościach arytmetycznych:
Dwa trójkąty o bokach całkowitych o bokach nie równych sobie,
( które nie należą do trójkątów diofantycznych) ,
o następujących kombinacjach między bokami
1) siedem , dziewięć , o podstawie osiem ,
2) dziewięć , siedem , o podstawie czternaście .
Po wstawieniu podanych wartości boków tych trójkątów do wzorów wynikających z twierdzenia cosinusów ,
z łatwością wyznaczymy wartości cosinusów między bokami leżącymi na przeciwko podstaw tych trójkatów,
Zauważmy ze obliczone wartości cosinusów dla podanych trójkatów co do wartości bezwzględnych są sobie równe .
W pierwszym trójkącie cosinus tego kąta ma wartość dodatnią , (stąd jest kątem ostrym )
W drugim trójkącie cosinus tego kąta ma wartośc ujemną ,(stąd kąt wierzchołkowy jest kątem wewnętrznym rozwartym )
Godetom w starożytnym egipcie nie znali trygonometrii , ale znanym im sposobom arytmetycznym
z dużą dokładnoscią kamykową jak na tamnte czasy obliczali i trafnie te zależnosci interpretowali .
Dla ciekawości proponuję te obliczone wyniki przyrównać ze stosowaną w Starożytnym Egipcie
przez Babilończyków jednostką długości ; jedenego łokcia .
( lub porównać z przyjetą na owe czasy z jednostką długosci ; jednego kubita ) .

--
https://zagadkiwszechswiata.weebly.com/blog/135-zagadkowo-precyzyjna-starozytna-jednostka-dlugosci
-
T.w.

[dzialka11o]

Podane zapewne te ciekawe trójkaty :
1) siedem , dziewięć , o podstawie osiem ,
2) dziewięć , siedem , o podstawie czternaście : mają i inną ciekawą zależność:
W pierwszym trójkącie kąt na przeciwko podanej podstawy jest " ciut " mniejszy od kąta 60 st.
W drugim trójkącie kąt na przeciwko podanej podstawy jest "'ciut '" większy od kąta 120 st.
Otóż okazuje się że te różnice kątowe są sobie równe .
Tej właśiwosci nie posiadają żadne inne trójkąty o bokach w liczbach całkowitych różnych od siebie .
T.W.