Matematyka.pl

Dwuczłonowy pocisk rakietowy o całkowitej masie \(\displaystyle{ m}\) został wystrzelony z wyrzutni z prędkością \(\displaystyle{ v_0}\) pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) do poziomu. W momencie gdy pocisk znajdował się w najwyższym punkcie toru odpalenie ładunku rozłączyło człony rakiety i pierwszy człon spadł dokładnie pod miejscem odpalenia. Z jaką prędkością \(\displaystyle{ v}\) zacznie się poruszać drugi człon rakiety oraz w jakiej odległości \(\displaystyle{ x}\) od wyrzutni upadnie na Ziemię, jeżeli jego masa wynosi \(\displaystyle{ 0,1m}\)?

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Na pewno trzeba tu zastosować zasadę zachowania pędu, ale nie wiem jak obliczyć tę prędkość drugiego członu po odpaleniu ładunku.

Wiem, że składowa pozioma prędkości pocisku w najwyższym punkcie toru wynosi \(\displaystyle{ v_0\cos \alpha}\). No, ale nie wiem co się dzieje w kierunku pionowym. Jak powinno wyglądać równanie zasady zachowania pędu dla tego układu?

Co znaczy:

max123321 pisze: 31 maja 2025, o 22:29 spadł dokładnie pod miejscem odpalenia.

bo jeśli traktować to poważnie, to brakuje wysokości z jakiej wystrzelono pocisk.

Myślę, że zakładamy, że pocisk został wystrzelony z wyrzutni z poziomu ziemi i pierwszy człon spadł pionowo również na poziom ziemi.

Nie spadł pionowo, lecz pod tym samym kątem co wystrzelono pocisk! A skoro tor powrotu części pocisku był taki sam jak pocisku do momentu jego rozerwania to ....

PS
To przerobione zadanie w którym pocisk rozrywa się na dwie równe masy.

No, ale czekaj, bo nie rozumiem. Jak Ty to widzisz w ogóle? Bo ja to widzę, tak jak w załączniku.
W sensie najpierw pocisk leci po fioletowej paraboli i w jej wierzchołku rozrywa się na dwa, jeden spada pionowo w dół, a drugi leci w górę i w bok i zachowuje poziomą prędkość z początku i ten górny leci dalej po jakiejś paraboli fioletowej.

Widzę to tak:

Wystrzelony pocisk porusza się po czerwonej ''paraboli''. Gdyby nie zdarzenie '' w najwyższym punkcie toru'' to opadłby po czerwonej przerywanej krzywej. Jednak po rozerwaniu pocisku jego większy fragment wraca po czerwonym torze, a mniejszy opada nową, niebieska parabolą.
Jeśli składowa pozioma prędkości w momencie wystrzelenia wynosi v, to w najwyższym punkcie toru mam:
\(\displaystyle{ mv= \frac{9}{10}m(-v)+ \frac{9}{10}m(u)\\
u=19v}\)
Mniejsza część pocisku upadnie 10 razy dalej niż wynosił pierwotny zasięg pocisku.

No, ale z treści zadania większy fragment nie wraca po czerwonej paraboli, tylko upada dokładnie pod miejscem ODPALENIA, a nie WYSTRZELENIA.

Owszem, powyższe rozwiązanie zakłada że ''pierwszy człon spadł dokładnie pod miejscem odpalenia'' POCISKU.

Tu uważasz, że ''pierwszy człon spadł dokładnie pod miejscem odpalenia'' ŁADUNKU. Wtedy twój rysunek byłby prawidłowy, lecz zadanie nierozwiązywalne gdyż nic nie wiadomo o uzyskanych wtedy składowych pionowych prędkości.
Uproszczenie (niewynikające z treści zadania), iż są one zerowe da:
\(\displaystyle{ mv= (\frac{9}{10}m) \cdot 0+ (\frac{1}{10}m) u\\
u= 10v }\)

Dlatego przyjąłem wersją rozwiązywalną.

No tak, to co piszesz ma sens. Jednak przyjmując twoją wersję wydarzeń to wychodzi, że \(\displaystyle{ v=19v_0\cos \alpha}\), natomiast w odpowiedziach w książce jest \(\displaystyle{ v=10v_0\cos \alpha}\).

Po prostu autor coś sobie założył, lecz zapomniał o tym napisać.

kerajs pisze: 12 cze 2025, o 11:38(...)lecz zadanie nierozwiązywalne gdyż nic nie wiadomo o uzyskanych wtedy składowych pionowych prędkości.
Uproszczenie (niewynikające z treści zadania), iż są one zerowe da:
\(\displaystyle{ mv= (\frac{9}{10}m) \cdot 0+ (\frac{1}{10}m) u\\
u= 10v }\)

Przyjmując oznaczenia z zadania \(\displaystyle{ v=v_0\cos \alpha .}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{v_0 ^2 \sin(2\alpha)}{2g}+ \frac{v_0 v \sin(\alpha)}{2g}}\) jak i \(\displaystyle{ mv_0 \cos(\alpha) = \frac{m}{10} v }\) (o ile niewypał spadł pionowo)...