Matematyka.pl

Mając daną nierówność

\(\displaystyle{ \left| \frac{z+i}{ z^{2}+1} \right| \le 1}\)

wyznaczam dziedzinę

\(\displaystyle{ z^{2}+1 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ z^{2} \neq -1}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| \neq \sqrt{-1} }\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| \neq i}\)
\(\displaystyle{ z \neq i }\) oraz
\(\displaystyle{ z \neq -i}\)
Co jest nie tak w tym zapisie? Czy zapis \(\displaystyle{ \left| z\right| \neq i}\) nie jest niepoprawny? Przecież wartość modułu nie może być liczbą zespoloną. Jak zapisać to w inny sposób?

Ja się nie znam, sam zweryfikuj

VanHezz pisze: 25 maja 2025, o 21:05 \(\displaystyle{ z^{2} \neq -1}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| \neq \sqrt{-1} }\)

Zastosowałeś bezrefleksyjnie wzór \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}=|a|}\), tymczasem jest to wzór dotyczący liczb rzeczywistych. Moduł w liczbach zespolonych to trochę co innego niż moduł w liczbach rzeczywistych (tzn. to nadal odległość od zera, ale w trochę innym kontekście), w szczególności dotyczą go inne wzory.

W sytuacji \(\displaystyle{ z^{2}+1 \neq 0}\) istotnie następny krok to \(\displaystyle{ (z-i)(z+i)\ne 0.}\)

JK

Dziękuję. Wszystko jasne.

w szczególności dotyczą go inne wzory

Masz na myśli wzory z modułami z liczb zespolonych, które opisuję zależności dotyczące odległości na płaszczenie?

Tak.

JK

A gdyby to samo, ale bez modułu, zapisać w ten sposób?:

\(\displaystyle{ z^{2} \neq -1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ z^{2} } \neq \sqrt{-1} }\)
\(\displaystyle{ z \neq i }\)
oraz
\(\displaystyle{ -z \neq i \Rightarrow z \neq -i}\)

No niezbyt. W liczbach zespolonych symbol \(\displaystyle{ \sqrt{-1} }\) jest niejednoznaczny, więc nie jest tak, że \(\displaystyle{ \sqrt{-1} =i}\) - to tylko wygodny skrót myślowy.

JK

Nie rozumiem. Wiadomo, że \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\).
Pierwiastkując obustronnie dostajemy \(\displaystyle{ -1}\) pod pierwiastkiem.

A kto ci pozwala pierwiastkować obustronnie?

Pierwiastek (arytmetyczny) z liczby rzeczywistej nieujemnej jest jednoznacznie zdefiniowany. Dlatego jak masz równość nieujemnych liczb rzeczywistych, to możesz ją obustronnie spierwiastkować.

Natomiast w przypadku zespolonym nie ma czegoś takiego jak pierwiastek arytmetyczny z liczby zespolonej. Rozważamy tylko pierwiastki algebraiczne, których jest wiele (każda liczba zespolona niezerowa ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia). Dlatego z używaniem symbolu \(\displaystyle{ \sqrt{} }\) w liczbach zespolonych trzeba być bardzo ostrożnym.

JK

Dobrze. To jak w takim razie najpoprawniej zapisywać pierwiastki algebraiczne liczb zespolonych, bo rozumiem że symbol pierwiastka nie wchodzi w grę. Słownie?
I też zastanawiam się, dlaczego nie w twojej wiadomości z 12:58 nie zwróciłeś mi uwagi, że nie mogę obustronnie pierwiastkować. A to tak na marginesie.

VanHezz pisze: 27 maja 2025, o 21:20 Dobrze. To jak w takim razie najpoprawniej zapisywać pierwiastki algebraiczne liczb zespolonych, bo rozumiem że symbol pierwiastka nie wchodzi w grę. Słownie?

Można słownie.

VanHezz pisze: 27 maja 2025, o 21:20 I też zastanawiam się, dlaczego nie w twojej wiadomości z 12:58 nie zwróciłeś mi uwagi, że nie mogę obustronnie pierwiastkować.

Napisałem Ci, że zastosowałeś wzór, który nie występuje w liczbach zespolonych, gdzie obowiązują inne wzory.

Symbol pierwiastka czasem pojawia się w kontekście liczb zespolonych, ale trzeba mieć zawsze świadomość, że to skrót myślowy. Jeżeli ktoś rozwiązuje w zespolonych równanie kwadratowe \(\displaystyle{ x^2-2x+5=0}\) i napisze \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \sqrt{-16}=4i, }\) to jest to formalnie niepoprawne, ale praktycznie (jako skrót myślowy) wygodne (i używane), dzięki temu, że pierwiastki tego równania są sprzężone - niezależnie od tego, czy do wzoru na pierwiastki wstawimy \(\displaystyle{ 4i}\) czy \(\displaystyle{ -4i}\), to i tak dostaniemy tę samą odpowiedź.

JK