Matematyka.pl

Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ \frac{2^n - 2}{n }}\) nie jest pierwsza, o ile jest całkowita.
Uwagi \(\displaystyle{ n>3 }\).

Wygląda na to że, liczba jest całkowita wyłącznie wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą.

niekoniecznie np. \(\displaystyle{ 341}\) jest pseudopierwsza....

czy 5461 jest następną w kolejności liczbą pseudopierwszą?

Dla \(\displaystyle{ n}\) parzystego raczej nie istnieją liczby całkowite .
Dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych by liczba \(\displaystyle{ \frac{2^n-2}{n} }\) była całkowita musi się dzielić przez \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\),
bo \(\displaystyle{ 2 \cdot (2^{n-1}-1)}\)

\(\displaystyle{ NWD(n, 2)=1}\)
to z własności podzielności
\(\displaystyle{ 2n | 2^n-2}\) (tylko dla całkowitych \(\displaystyle{ \frac{2^n-2}{n} }\))
czyli liczba \(\displaystyle{ 2^n-2}\) jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 2n}\) np. \(\displaystyle{ 2kn}\)
Stąd po podzieleniu przez \(\displaystyle{ n}\) mamy liczbę parzystą \(\displaystyle{ 2k}\) czyli by była pierwsza musiałaby być \(\displaystyle{ 2}\) (albo inną większą liczbą pierwszą parzystą )

Dla n parzystego raczej nie istnieją liczby całkowite

skąd to wiesz

wykaż, że dla \(\displaystyle{ n=2r}\) nieparzystych:

\(\displaystyle{ r|2^{r-1}-1}\)

\(\displaystyle{ r }\)- nieparzyste

że to nie zachodzi...

Drobna poprawka
\(\displaystyle{ r\nmid 2 ^{2r-1}-1 }\)
Zaczął bym tak
z Eulera
\(\displaystyle{ NWD(2, 2r-1)=1}\);
\(\displaystyle{ 2 ^{ \varphi (2r-1)} \equiv 1 }\) \(\displaystyle{ mod (2r-1)}\)

Dalej utknąłem