Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ (G, \cdot)}\) jest grupą oraz \(\displaystyle{ a, b \in G}\) oraz \(\displaystyle{ a^{-1}b^2 a=b^3 }\) jak i \(\displaystyle{ b^{-1}a^2 b=a^3 }\), to \(\displaystyle{ a=b=e}\).

przepiszmy oba wygodniej:

(1) \(\displaystyle{ b^2a=ab^3}\)

(2) \(\displaystyle{ a^2b=ba^3}\)

drugie pomnóżmy obustronnie przez \(\displaystyle{ b^2}\) z prawej:

otrzymamy:

\(\displaystyle{ a^2b^3=ba^3b^2}\)

\(\displaystyle{ a(ab^3)=(ba^3)b}\)

za to co w nawiasach podstawmy z (1) i (2) , otrzymamy:

\(\displaystyle{ ab^2a=a^2b^2 /:a}\) (L) - dzielenie z lewej

\(\displaystyle{ b^2a=ab^2=ab^3}\)

więc:

\(\displaystyle{ ab^2=ab^3 :/a (L)}\)

\(\displaystyle{ b^2=b^3 /: b^2}\)

\(\displaystyle{ b=e}\)

podstawmy to do (2) i otrzymamy:

\(\displaystyle{ a^2=a^3}\)

a co za tym idzie:

\(\displaystyle{ a=b=e}\)

cnd...

Dla \(\displaystyle{ g \in G}\) funkcja \(\displaystyle{ \varphi_g : G \to G}\), \(\displaystyle{ \varphi_g(x) = g^{-1} x g}\) jest automorfizmem grupy \(\displaystyle{ G}\). Z założeń mamy \(\displaystyle{ \varphi_b(a^2) = a^3}\), zatem

\(\displaystyle{ \varphi_{b^2}(a^8) = \varphi_b( \varphi_b( a^8 ) ) = \varphi_b( a^{12} ) = a^{18}}\).

Stąd \(\displaystyle{ \varphi_a( \varphi_{b^2}( a^8 ) ) = \varphi_a( a^{18} ) = a^{18}}\), a jednocześnie

\(\displaystyle{ \varphi_a( \varphi_{b^2}( a^8 ) ) = \varphi_{ \varphi_a(b^2) }( \varphi_a( a^8 ) ) = \varphi_{b^3}( a^8 ) = \ldots = a^{27}}\).

Mamy więc \(\displaystyle{ a^{18} = a^{27}}\), tj. \(\displaystyle{ a^9 = e}\). Dalej

\(\displaystyle{ e = \varphi_{b^{-2}}(e) = \varphi_{b^{-2}}( a^9 ) = a^4}\),

a stąd już łatwo dostajemy \(\displaystyle{ a = b = e}\).

arek1357 pisze: 17 maja 2025, o 16:28 otrzymamy:

\(\displaystyle{ a^2b^3=ba^3b^2}\)

\(\displaystyle{ a(ab^3)=(ba^3)b}\)

Pomyliłeś się w rachunkach.

tak tam była pomyłka