Matematyka.pl

Czy jeśli \(\displaystyle{ f: [0, 1] \to \mathbb{R}}\) jest funkcją ciągłą i \(\displaystyle{ f(0)=f(1)}\), to dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 1 }\) istnieje \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) iż \(\displaystyle{ f(x) = f(x+ \frac{1}{n} )}\)

Funkcja \(\displaystyle{ h(x)=f(x+1/n)-f(x)}\) jest ciągła i \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1} h(i/n)=0}\)
Jeżeli wszystkie składniki tej sumy są zerami, to nie ma czego dowodzić, a jeżeli któryś jest dodatni, to inny musi być ujemny. Z własności Darboux wnioskujemy, że `h` się gdzieś zeruje.