Matematyka.pl

Relacja \(\displaystyle{ r}\) zdefiniowana jako:\(\displaystyle{ x, y \in \NN; (x, y) \in r \Leftrightarrow x^3 \bmod 3 = y^3 \bmod 3}\)
a) Ma 3 klasy abstrakcji
b) Ma 2 klasy abstrakcji
c) Nie jest relacją równoważności
d) Nie jest relacją porządku.

Proszę o sprawdzenie:
a) Prawda, bo mamy trzy klasy abstrakcji, trzy zbiory liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) dają resztę odpowiednio \(\displaystyle{ 0,1,2}\).
b) Fałsz.
c) Fałsz. Relacja ta jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
d) Prawda, gdyż nie jest antysymetryczna, więc nie może być relacją porządku.

Dobrze, choć chciałbym zobaczyć, jak doszedłeś do a).

JK

Ok, do a) doszedłem tak:
Liczby naturalne możemy podzielić na trzy rozłączne podzbiory liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę odpowiednio 0,1,2, czyli zbiory liczb postaci: \(\displaystyle{ x=3k,x=3k+1,x=3k+2, k\in N}\). No i teraz patrzymy:
\(\displaystyle{ (3k)^3 \mod 3= 27k^3 \mod 3=0}\).
\(\displaystyle{ (3k+1)^3 \mod 3=27k^3+27k^2+9k+1\mod 3=3(9k^3+9k^2+3k)+1\mod 3=1}\)
\(\displaystyle{ (3k+2)^3\mod 3=27k^3+k^2+3k+6+2\mod 3=3(9k^3+18k^2+12k+2)+2\mod 3=2}\).
\(\displaystyle{ k\in N}\).
No i to chyba tyle. O to chodzi?

Tak. Sześcian liczby naturalnej może dawać trzy różne reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\).

JK