Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, i \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą , taką że \(\displaystyle{ n}\) dzieli \(\displaystyle{ p-1}\) i \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ n^3-1}\), to \(\displaystyle{ 4p-3}\) jest kwadratem liczby całkowitej.

Z: \(\displaystyle{ n}\) - nat, \(\displaystyle{ p}\) - pierwsza

\(\displaystyle{ n | p-1 }\)

\(\displaystyle{ p | n^3-1\ }\)

T: \(\displaystyle{ 4p-3=y^2}\)

Dw.:

z założenia:

\(\displaystyle{ p=kn+1 , p|n^3-1=(n-1)(n^2+n+1) \Rightarrow p|n^2+n+1}\)

ale: \(\displaystyle{ p=kn+1}\)

więc:

\(\displaystyle{ n^2+n+1=mp=kmn+m}\)

lub:

\(\displaystyle{ n^2+(1-km)n+(1-m)=0}\)

jak widać jest to równanie kwadratowe z niewiadomą \(\displaystyle{ n}\) i ono ma mieć rozwiazanie w naturalnych, czyli delta musi być kwadratem:

\(\displaystyle{ \Delta=\left( mk-1\right)^2+4(m-1)=x^2 }\)

jeżeli teraz: \(\displaystyle{ m=1}\)

więc otrzymamy:

\(\displaystyle{ p=n^2+n+1}\)

czyli:

\(\displaystyle{ 4p-3=4n^2+4n+1=\left( 2n+1\right)^2}\)

jak widać teza jest spełniona

załóżmy teraz, że:

\(\displaystyle{ m>1}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ \Delta=\left( mk-1\right)^2+4(m-1)=x^2}\)

jak widać mamy, że:

kwadrat plus liczba równa się kwadratowi, znaczy to tylko tyle, że:

liczba musi spełnić taki warunek. czyli:

\(\displaystyle{ 4(m-1) \ge 2(mk-1)+1}\)

więc:

\(\displaystyle{ 2m(2-k) \ge 3}\)

czyli:

\(\displaystyle{ k=1}\)

znaczy to tylko tyle, że:

\(\displaystyle{ p=kn+1=n+1}\)

ale wiemy, że:

\(\displaystyle{ p | n^2+n+1}\)

więc musiało by być:

\(\displaystyle{ n+1 | n^2+(n+1) \Rightarrow n+1|n^2}\)

a to jest niemożliwe czyli mamy przypadek pierwszy:

\(\displaystyle{ m=1}\)

a wtedy teza jest spełniona...

cnd....

przykład na przykład:

\(\displaystyle{ n=2, p=7}\)

jak widać założenia są spełnione ponieważ:

\(\displaystyle{ 2 | 6 , 7 | 2^3-1=7}\)

a teza:

\(\displaystyle{ 4p-3=4 \cdot 7-3=25=5^2}\)

Albo też : \(\displaystyle{ n+1=k}\) gdyż \(\displaystyle{ \frac{kn+k-n}{kn+1} }\) jest liczbą naturalną... / gdyż \(\displaystyle{ kn+k-n = k(n^2+n+1)- n(kn+1)}\).

Generalnie skoro tylko może być, że:

\(\displaystyle{ m=1}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ p=n^2+n+1}\)

a wtedy:

\(\displaystyle{ n |n^2+n=p-1}\)

\(\displaystyle{ p=n^2+n+1 | n^3-1}\)

\(\displaystyle{ 4p-3=4n^2+4n+1=\left( 2n+1\right)^2}\)

i wszystko spełnione wyszło takie masło maślane...(mało smerfastyczne a już na pewno nie fikuśne)