Różnice pierwiastków
: 27 kwie 2025, o 08:15
Wyznaczyć \(\displaystyle{ \lim_{x \to 2} \frac{ \sqrt[3]{x-1} - \sqrt[3]{x^2 - 3} }{ \sqrt{x+7} - (x+1) } }\).
Lagrange się kłania
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[3]{x-1} - \sqrt[3]{x^2 - 3} }{ \sqrt{x+7} - (x+1) }=}\) \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[3]{x-1} - \sqrt[3]{x^2 - 3} }{ \sqrt{x+7} - \sqrt{(x+1)^2} }}\)\(\displaystyle{
=\frac{\frac{1}{2\sqrt{a}}((x-1)-(x^2-3))}{\frac{1}{3\sqrt[3]{b^2}}((x+7)-(x+1)^2)}}\)
\(\displaystyle{
\\=\frac{\frac{1}{2\sqrt{a}}(2-x)(x+1)}{\frac{1}{3\sqrt[3]{b^2}}(2-x)(x+3)}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{a}}(x+1)}{\frac{1}{3\sqrt[3]{b^2}}(x+3)}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \min\{x-1,x^2-3\}<a<\max\{x-1,x^2-3\}}\) więc \(\displaystyle{ a\to 1}\) gdy \(\displaystyle{ x\to 2}\)
i \(\displaystyle{ \min\{x+7,(x+1)^2\}<b<\max\{x+7,(x+1)^2\}}\) więc \(\displaystyle{ b\to 9}\) gdy \(\displaystyle{ x\to 2}\)
Dalej już prosto.