[MIX] Mix przy herbatce
: 24 kwie 2025, o 21:40
1. Każdy punkt płaszczyzny pomalowano jednym z trzech kolorów, tak że każdy odcinek ma tę własność: jeśli końce odcinka są jednokolorowe, to jego środek też jest tego koloru, a jeśli są różnokolorowe, to jego środek jest innego koloru niż każdy z końców. Udowodnić, że wszystkie punkty są jednokolorowe.
2. Wyznaczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{\ln(n)}{1+…+\frac{1}{n}}\right)^n .}\)
3. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ (1+x)(1+x^2)(1+x^3)… = \frac{1}{(1-x)(1-x^3)(1-x^5)…} .}\)
4. Niech \(\displaystyle{ w=\cos( \frac{2\pi}{13} ) + i \sin( \frac{2\pi}{13} ) }\), obliczyć \(\displaystyle{ \prod_{k=0}^{12} (w^{3k}+ w^k+1 ).}\)
5. Kiedy ciąg \(\displaystyle{ \cos(x), \ \cos(2x), \ \cos(3x)}\) jest geometrycznym ?
6. Jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^5+x - 1=0}\), to wyznaczyć równanie, którego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ a^4+1.}\)
MathProPress
7. Na brzegu kwadratu o boku \(\displaystyle{ n }\) wyróżniono \(\displaystyle{ 2n }\) punktów różnych od jego wierzchołków, które dzielą każdy z boków na odcinki o całkowitych długościach. Udowodnić, że istnieją cztery z wyróżnionych punktów, które są wierzchołkami równoległoboku o środku w punkcie przecięcia przekątnych kwadratu.
8. Na okręgu rozmieszczono skończoną ilość liczb naturalnych. Dla dowolnych sąsiadów wpisujemy pomiędzy nimi ich największy wspólny dzielnik, a potem sąsiadów tych wykreślamy. Wykazać, że po skończonej liczbie kroków tej procedury powstanie układ, gdzie wszystkie liczby są równe.
9. Wyznaczyć, o ile istnieją, wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ P}\), takie że \(\displaystyle{ P( P'(x))= P'(P(x)). }\)
powtórzone
10. Wyznaczyć \(\displaystyle{ \sqrt{- \overline{z}}}\) tj. jako wyrażenie zmiennych \(\displaystyle{ a, b}\), jeśli \(\displaystyle{ z=a+bi.}\)
11. Rozstrzygnąć czy istnieją ograniczone ciągi liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a_1, a_2, . . . }\) i \(\displaystyle{ b_1, b_2, . . . }\) takie, że dla dowolnych dodatnich liczb całkowitych \(\displaystyle{ m > n}\) zachodzi warunek \(\displaystyle{ |a_m - a_n|> \frac{1}{\sqrt{n}}}\) lub \(\displaystyle{ |b_m - b_n|> \frac{1}{\sqrt{n}}.}\)
12. Macierze Stirlinga
Udowodnić, że macierz liczb Stirlinga pierwszego rodzaju jest odwrotną do macierzy liczb Stirlinga drugiego rodzaju.
13. Funkcja i pochodna
Wyznaczyć \(\displaystyle{ f }\) jeśli \(\displaystyle{ f'(3x)= 2 f(x)+ 1 .}\)
14. Czy jeśli płaszczyznę pomalować, w dowolny sposób, jednym z dwóch kolorów (biały i czarny), to zawsze istnieje odcinek jednokolorowy (niezdegenerowany do punktu) ?
15. Rozwiązać nierówność:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{\sin(x) - \sin(\sin(x))}{ \cos(x) - \cos(\cos(x)) } > 0. }\)
16. Niech \(\displaystyle{ w(x)}\) będzie największym nieparzystym dzielnikiem \(\displaystyle{ x}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a+ w(b+1)}\) i \(\displaystyle{ b+ w(a+1)}\) są potęgami dwójki, to \(\displaystyle{ a+ 1}\) i \(\displaystyle{ b+ 1}\) też są potęgami dwójki.
powtórzone
17. Rozwiazać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}a^2+b^2=c +1 \\ a^3 - b^3 = a+b+c+1 \end{cases}}\)
w zbiorze liczb całkowitych.
18. Udowodnić, że wszystkie wyrazu ciągu
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=x_2=1 \\ x_3=4 \\ x_{n+3}= 2x_{n+2} + 2x_{n+1} - x_n \end{cases} }\)
są kwadratami liczb całkowitych.
19. Niech \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}}\) będzie taką funkcją, że \(\displaystyle{ f(x+2)= f(x-1)f(x+5) }\) dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ f}\) jest okresowa.
20. Ile pierwiastków rzeczywistych ma wielomian \(\displaystyle{ x^{10}- 7x^3+1}\) ?
PiMuEpsilon
21. Jaki jest najmniejszy możliwie obwód trójkąta wpisanego w okrąg jednostkowy ?
22. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest równa \(\displaystyle{ c=17}\), a jego obwód jest \(\displaystyle{ \frac{8}{3}}\) razy większy od jednej z przyprostokątnych. Wyznaczyć tę przyprostokątną.
Iksy i Igreki
23. Na płaszczyźnie dana jest ograniczona siatka punktów o współrzędnych całkowitych. Ile jest trójkątów o wierzchołkach w tych punktach, które nie mają żadnego innego punktu z siatki w swoim wnętrzu?
24. Wykazać, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) o współczynnikach całkowitych ma tę własność, że \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ W(W(W(x)))}\) mają wspólny pierwiastek rzeczywisty, to mają one też wspólny pierwiastek wymierny.
25. Rozwiązać uklad
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y = \sqrt{4z-1} \\ y+z = \sqrt{4x-1} \\ x+z = \sqrt{4y-1}. \end{cases}}\)
26. Każdy punkt sfery pomalowano na czerwono lub na niebiesko, tak że dowolny okrąg wielki ma punkty w obu kolorach. Czy stąd wynika, że jakaś średnica sfery ma różnokolorowe końce ?
Okrąg wielki to każdy okrąg na tej sferze, którego środkiem jest środek sfery.
Fejsbukowa Liga OMG
27. Jeśli \(\displaystyle{ A = \{ a_1,…, a_m \} \subset \mathbb{R}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_1>a_2> …> a_m }\), to \(\displaystyle{ f(A)= \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1} a_k }\). Wykazać, że gdy \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-elementowym zbiorem liczb całkowitych dodatnich, to \(\displaystyle{ \sum_{A \subset M} f(A)}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 2^{n-1}.}\)
Mathematical delights
28. Wykazać, że w dodekagonie \(\displaystyle{ A_1…A_{12}}\) foremnym przekątne \(\displaystyle{ A_1A_{9}, \ A_2A_{11}, A_4A_{12}}\) mają punkt wspólny.
29. Żuk znajduje się na nieskończonej siatce tj. na środkach kwadratów jednostkowych, startując z punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) płaszczyzny. W każdej sekundzie wykonuje losowy ruch: krok długości 1 w jednym z czterech kierunków: w górę, w dół, w lewo lub w prawo (każdy z jednakowym prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)). Na każdym kwadracie, który odwiedzi, zostawia farbę – raz odwiedzony kwadrat zostaje pomalowany.
Jaka jest oczekiwana liczba różnych kwadratów, które żuk pomaluje po \(\displaystyle{ n}\) ruchach ?
30. Czy jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi i gdy \(\displaystyle{ 2ab+1}\) dzieli \(\displaystyle{ a^2+b^2+1 }\), to \(\displaystyle{ a=b}\) ?
2. Wyznaczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{\ln(n)}{1+…+\frac{1}{n}}\right)^n .}\)
3. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ (1+x)(1+x^2)(1+x^3)… = \frac{1}{(1-x)(1-x^3)(1-x^5)…} .}\)
4. Niech \(\displaystyle{ w=\cos( \frac{2\pi}{13} ) + i \sin( \frac{2\pi}{13} ) }\), obliczyć \(\displaystyle{ \prod_{k=0}^{12} (w^{3k}+ w^k+1 ).}\)
5. Kiedy ciąg \(\displaystyle{ \cos(x), \ \cos(2x), \ \cos(3x)}\) jest geometrycznym ?
6. Jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^5+x - 1=0}\), to wyznaczyć równanie, którego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ a^4+1.}\)
MathProPress
7. Na brzegu kwadratu o boku \(\displaystyle{ n }\) wyróżniono \(\displaystyle{ 2n }\) punktów różnych od jego wierzchołków, które dzielą każdy z boków na odcinki o całkowitych długościach. Udowodnić, że istnieją cztery z wyróżnionych punktów, które są wierzchołkami równoległoboku o środku w punkcie przecięcia przekątnych kwadratu.
8. Na okręgu rozmieszczono skończoną ilość liczb naturalnych. Dla dowolnych sąsiadów wpisujemy pomiędzy nimi ich największy wspólny dzielnik, a potem sąsiadów tych wykreślamy. Wykazać, że po skończonej liczbie kroków tej procedury powstanie układ, gdzie wszystkie liczby są równe.
9. Wyznaczyć, o ile istnieją, wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ P}\), takie że \(\displaystyle{ P( P'(x))= P'(P(x)). }\)
powtórzone
10. Wyznaczyć \(\displaystyle{ \sqrt{- \overline{z}}}\) tj. jako wyrażenie zmiennych \(\displaystyle{ a, b}\), jeśli \(\displaystyle{ z=a+bi.}\)
11. Rozstrzygnąć czy istnieją ograniczone ciągi liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a_1, a_2, . . . }\) i \(\displaystyle{ b_1, b_2, . . . }\) takie, że dla dowolnych dodatnich liczb całkowitych \(\displaystyle{ m > n}\) zachodzi warunek \(\displaystyle{ |a_m - a_n|> \frac{1}{\sqrt{n}}}\) lub \(\displaystyle{ |b_m - b_n|> \frac{1}{\sqrt{n}}.}\)
12. Macierze Stirlinga
Udowodnić, że macierz liczb Stirlinga pierwszego rodzaju jest odwrotną do macierzy liczb Stirlinga drugiego rodzaju.
13. Funkcja i pochodna
Wyznaczyć \(\displaystyle{ f }\) jeśli \(\displaystyle{ f'(3x)= 2 f(x)+ 1 .}\)
14. Czy jeśli płaszczyznę pomalować, w dowolny sposób, jednym z dwóch kolorów (biały i czarny), to zawsze istnieje odcinek jednokolorowy (niezdegenerowany do punktu) ?
15. Rozwiązać nierówność:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{\sin(x) - \sin(\sin(x))}{ \cos(x) - \cos(\cos(x)) } > 0. }\)
16. Niech \(\displaystyle{ w(x)}\) będzie największym nieparzystym dzielnikiem \(\displaystyle{ x}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a+ w(b+1)}\) i \(\displaystyle{ b+ w(a+1)}\) są potęgami dwójki, to \(\displaystyle{ a+ 1}\) i \(\displaystyle{ b+ 1}\) też są potęgami dwójki.
powtórzone
17. Rozwiazać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}a^2+b^2=c +1 \\ a^3 - b^3 = a+b+c+1 \end{cases}}\)
w zbiorze liczb całkowitych.
18. Udowodnić, że wszystkie wyrazu ciągu
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=x_2=1 \\ x_3=4 \\ x_{n+3}= 2x_{n+2} + 2x_{n+1} - x_n \end{cases} }\)
są kwadratami liczb całkowitych.
19. Niech \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}}\) będzie taką funkcją, że \(\displaystyle{ f(x+2)= f(x-1)f(x+5) }\) dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ f}\) jest okresowa.
20. Ile pierwiastków rzeczywistych ma wielomian \(\displaystyle{ x^{10}- 7x^3+1}\) ?
PiMuEpsilon
21. Jaki jest najmniejszy możliwie obwód trójkąta wpisanego w okrąg jednostkowy ?
22. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest równa \(\displaystyle{ c=17}\), a jego obwód jest \(\displaystyle{ \frac{8}{3}}\) razy większy od jednej z przyprostokątnych. Wyznaczyć tę przyprostokątną.
Iksy i Igreki
23. Na płaszczyźnie dana jest ograniczona siatka punktów o współrzędnych całkowitych. Ile jest trójkątów o wierzchołkach w tych punktach, które nie mają żadnego innego punktu z siatki w swoim wnętrzu?
24. Wykazać, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) o współczynnikach całkowitych ma tę własność, że \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ W(W(W(x)))}\) mają wspólny pierwiastek rzeczywisty, to mają one też wspólny pierwiastek wymierny.
25. Rozwiązać uklad
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y = \sqrt{4z-1} \\ y+z = \sqrt{4x-1} \\ x+z = \sqrt{4y-1}. \end{cases}}\)
26. Każdy punkt sfery pomalowano na czerwono lub na niebiesko, tak że dowolny okrąg wielki ma punkty w obu kolorach. Czy stąd wynika, że jakaś średnica sfery ma różnokolorowe końce ?
Okrąg wielki to każdy okrąg na tej sferze, którego środkiem jest środek sfery.
Fejsbukowa Liga OMG
27. Jeśli \(\displaystyle{ A = \{ a_1,…, a_m \} \subset \mathbb{R}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_1>a_2> …> a_m }\), to \(\displaystyle{ f(A)= \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1} a_k }\). Wykazać, że gdy \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-elementowym zbiorem liczb całkowitych dodatnich, to \(\displaystyle{ \sum_{A \subset M} f(A)}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 2^{n-1}.}\)
Mathematical delights
28. Wykazać, że w dodekagonie \(\displaystyle{ A_1…A_{12}}\) foremnym przekątne \(\displaystyle{ A_1A_{9}, \ A_2A_{11}, A_4A_{12}}\) mają punkt wspólny.
29. Żuk znajduje się na nieskończonej siatce tj. na środkach kwadratów jednostkowych, startując z punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) płaszczyzny. W każdej sekundzie wykonuje losowy ruch: krok długości 1 w jednym z czterech kierunków: w górę, w dół, w lewo lub w prawo (każdy z jednakowym prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)). Na każdym kwadracie, który odwiedzi, zostawia farbę – raz odwiedzony kwadrat zostaje pomalowany.
Jaka jest oczekiwana liczba różnych kwadratów, które żuk pomaluje po \(\displaystyle{ n}\) ruchach ?
30. Czy jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi i gdy \(\displaystyle{ 2ab+1}\) dzieli \(\displaystyle{ a^2+b^2+1 }\), to \(\displaystyle{ a=b}\) ?
