Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1} (x+ e_k)^n = n(x^n+1)}\) gdzie \(\displaystyle{ e_k = \cos( \frac{2k \pi}{n} )+ i \sin( \frac{2k \pi}{n} )}\).

Można to rozpisać tak:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1} \left( x+e_{k}\right)^n =}\)

\(\displaystyle{ x^n+x^n+...+x^n=nx^n}\)

\(\displaystyle{ {n \choose 1} x^{n-1}\left( e_{0}+...+e_{n-1}\right)=0 }\)

\(\displaystyle{ {n \choose 2} x^{n-2}\left( e_{0}^2+...+e_{n-1}^2\right)=0 }\)
--

\(\displaystyle{ {n \choose n-1} x\left( e_{0}^{n-1}+...+e_{n-1}^{n-1}\right)=0 }\)


\(\displaystyle{ e_{0}^n+...+e_{n-1}^n=n }\)


co daje tezę...

A jak się nie zna wzorów, na które powołuje się arek1357, albo gdy chce się je udowodnić, to zadanie można rozwiązać tak:

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=0}^{n-1} (x+ e_k)^n}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ f(e_1x)=\sum_{k=0}^{n-1} (e_1x+ e_k)^n=\sum_{k=0}^{n-1} e_1^n(x+ e_{k-1})^n=f(x)}\)
Stąd \(\displaystyle{ f^{(k)}(e_1x)=e_1^kf^{(k)}(e_1x)=f^{(k)}(x)}\), co znaczy, że \(\displaystyle{ f^{(k)}(0)=0}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,...,n-1}\). Szukany wielomian jest zatem postaci \(\displaystyle{ f(x)=ax^n+b}\) i prosty rachunek pokazuje, że \(\displaystyle{ a=b=n}\).

Bo te potęgi:

\(\displaystyle{ e_{i}^k}\) to tylko permutacje \(\displaystyle{ e_{i}}\)