Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n }\) są liczbami naturalnymi oraz \(\displaystyle{ A = \frac{(m+3)^n +1}{3m}}\) jest też liczbą naturalną, to \(\displaystyle{ A}\) jest nieparzysta.

Jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest nieparzyste, to zarówno licznik, jak i mianownik ułamka są nieparzyste, a ich całkowity iloraz (o ile istnieje) tez jest nieparzysty.
Gdy \(\displaystyle{ m}\) jest parzyste, to musi mieć postać \(\displaystyle{ m=6k+2}\) aby licznik był podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\) , a stąd
\(\displaystyle{ A = \frac{(6k+5)^n +1}{3(6k+2)}= \frac{4K+5^n +1}{2 \cdot 3(3k+1)}=\frac{4K+(4+1)^n +1}{2 \cdot 3(3k+1)}=\frac{4M+2}{2 \cdot 3(3k+1)}=\frac{2M+1}{ 3(3k+1)}}\)
Aby \(\displaystyle{ A}\) było naturalne, to k musi być parzyste (dla nieparzystych k ułamek się nie skróci), a iloraz nieparzystych da liczbę nieparzystą.