Matematyka.pl

W równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) odcinki \(\displaystyle{ DE}\) i \(\displaystyle{ DF}\) są wysokościami poprowadzonymi z wierzchołka \(\displaystyle{ D}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Wykaż, że jeśli kąt ostry równoległoboku jest równy \(\displaystyle{ \alpha}\), to \(\displaystyle{ \angle EPF=2\alpha}\).


Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Kąty środkowe i wpisane - bo na jakimś czworokącie z zadania da się opisać okrąg.

No tak widzę, że na czworokącie \(\displaystyle{ BFDE}\) można opisać okrąg, ale jak wykazać, że jego środek pokrywa się ze środkiem symetrii równoległoboku? Bo tylko wtedy możemy korzystać z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku.

gdyż \(\displaystyle{ BD}\) jest jego średnicą... ); zaś P jest środkiem \(\displaystyle{ BD}\).

No tak, faktycznie. Jakoś nie zauważyłem tego. Wszak średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest jego przeciwprostokątna.