Matematyka.pl

Dana jest funkcja:

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0 &\text{dla } x=a,a_{1}a_{2}...a_{n}\\1 &\text{dla }x=b,b_{1}b_{2}...b_{k}... \end{cases}}\)

jest to funkcja określona na zbiorze liczb wymiernych przyjmująca zero dla tych wymiernych, które mają rozwinięcie skończone a jeden dla tych wymiernych, które maję rozwinięcie nieskończone...

Teraz pytanie czy można ją przedłużyć w sposób różniczkowalny na całe \(\displaystyle{ \RR}\)

arek1357 pisze: 22 lut 2025, o 08:53 a jeden dla tych wymiernych, które maję rozwinięcie nieskończone...

Czyli jest to funkcja stała równa 1 #pdk

A pomijając powyższy niuans, to ja bym zaczął od ciągłości.

Czyli jest to funkcja stała równa 1

czemu?

Bo każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone, nawet jeżeli ma też skończone.

Nie każda. Zero ma tylko jedno, skończone rozwinięcie dziesiętne.

A `0.0000000...`?

Jeśli podchodzimy do sprawy w ten sposób, to owszem, ale wtedy w ogóle nie ma sensu mówić o rozwinięciach skończonych.

Konkretnie nie chodziło mi o takie rozwinięcia jak same zera mnie interesowały ułamki okresowe tylko inaczej to ująłem podejrzewam, że oba zbiory są gęste

Wszyscy wiemy o co ci chodziło, to tak żart był (i trochę ukryta wskazówka, żeby uważać na to, jak formułuje się treść zadań).

arek1357 pisze: 22 lut 2025, o 18:27 podejrzewam, że oba zbiory są gęste

Jak najbardziej.

No tak rzeczywiście bo Pan Lorek jest niedomyślny no trudno masz specyficzne poczucie humoru jak moja babcia...

Peter_85 pisze: 22 lut 2025, o 16:34Nie każda. Zero ma tylko jedno, skończone rozwinięcie dziesiętne.

Faktycznie, nie wziąłem pod uwagę że rozwinięcia dziesiętne są sztucznie usymetryzowane wokół zera. Myślałem o podobnych, acz lepiej zachowujących się przedstawieniach postaci

\(\displaystyle{ n + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{10^k}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ a_k \in \{ 0, \ldots, 9 \}}\),

a w ten sposób już każda liczba daje się przedstawić z rozwinięciem nieskończonym (tj. takim że \(\displaystyle{ a_k \neq 0}\) dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ k}\)).

tak tak tak... \(\displaystyle{ 1=0,9999999998}\)

ale jest różnica do licha między nieskracalnymi ułamkami mającymi w mianowniku tylko potęgi dwójki i piątki a pozostałymi... do cholery...

Jeżeli tak Cię irytuje wyjaśnienie, dlaczego treść Twojego zadania jest formalnie bez sensu (choć łatwo się domyślić o co chodziło), to może następnym razem nie pytaj?

choć łatwo się domyślić o co chodziło

No więc trzymaj się tego o co łatwo było się domyślić a nie tworzyć duet wraz tenorem Lorkiem...

Mnie uczyli: "mądrej głowie ...itd..."... bo ten popis hochsztaplerki niczemu nie służy...

Powtórzę ostatni raz: jeśli zadajesz pytanie, to nie miej później pretensji że ktoś na nie odpowiada.