Matematyka.pl

Jaka jest moc zbioru \(\displaystyle{ \QQ\left( \sqrt{2} \right)}\)?

Jeżeli masz na myśli zbiór \(\displaystyle{ \left\{ a+b\sqrt2:a,b\in\QQ\right\}, }\) to \(\displaystyle{ \aleph_0.}\)

JK

Dzięki za odpowiedź, a jak to udowodnić ? Jaka funkcja ustala równoliczność tego zbioru ze zbiorem N?

Funkcja \(\displaystyle{ f:\QQ\times\QQ\to\left\{ a+b\sqrt2:a,b\in\QQ\right\}}\) zadana wzorem \(\displaystyle{ f(a,b)= a+b\sqrt2}\) ustala równoliczność tego zbioru z \(\displaystyle{ \QQ\times\QQ}\). Natomiast fakt, że \(\displaystyle{ \left| \QQ\times\QQ\right| =\aleph_0}\) wynika z innych rozważań i jest dobrze znany.

Nie zawsze pokazanie, że zbiór ma moc \(\displaystyle{ \aleph_0}\) polega na wskazaniu bijekcji ze zbiorem liczb naturalnych.

JK