Matematyka.pl

Cześć mam następujący problem, nie rozumiem w którym miejscu popełniam błąd jak chcę obliczyć liczbę dopuszczalnych ustawień figur w szachach Fishera (w jednej linii na ośmiu polach), przy następujących warunkach:
- Król musi znajdować się pomiędzy wieżami
- Dwa gońce muszą się znajdować na polach o przeciwnych kolorach.

Myślałem o tym w następujący sposób:

1. Szukam liczby ustawień króla i dwóch wież. Skoro pól do ustawienia szachów mam 8, to liczba takich ustawień to będzie \(\displaystyle{ C^3_8}\), bo każda kombinacja pól wyznacza ustawienie figur na tych polach (Wieża, Król, Wieża)

2. Pozostaje mi 5 pól do wypełnienia, wiem, że spośród tych 5 pól, 3 są jednego koloru i 2 dwa innego koloru. Zatem mogę ustawić jednego gońca na 3 sposoby, a drugiego na 2.

3. Potem pozostają mi 3 pola na które mogę dowolnie ustawić hetmana

4. Pozostają mi dwa pola na skoczki, które po prostu ustawiam na jeden sposób.

Finalna liczba kombinacji wynosi zatem według takiej logiki: \(\displaystyle{ C^3_8 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 1008}\)
Poprawną liczbą kombinacji jest 960, gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?

Imho błąd jest już w tym stwierdzeniu

Mathix pisze: 17 lut 2025, o 23:10 1. Szukam liczby ustawień króla i dwóch wież. Skoro pól do ustawienia szachów mam 8, to liczba takich ustawień to będzie \(\displaystyle{ C^3_8}\), bo każda kombinacja pól wyznacza ustawienie figur na tych polach (Wieża, Król, Wieża)

Potem propaguje się na resztę rozumowania doprowadzając przykładowo w drugim punkcie do dziwnej sytuacji z gońcami. Po pierwsze wybór \(\displaystyle{ 3}\) miejsc nie gwarantuje Ci, że ustawisz tam figury w dobrej kolejności (Wieża, Król, Wieża). Może być źle (Król, Wieża, Wieża), a dokładniej to nie może tak być. To trzeba wykluczyć. Poza tym sytuacja (Wieża 1 , Król, Wieża 2) jest taka sama jak (Wieża 2 , Król, Wieża 1).

Można to policzyć inaczej. Gońce są nieistotne i można na początku o nich zapomnieć. To znaczy myślimy o szachach \(\displaystyle{ 6 \times 6}\) bez gońców.

W takich szachach mamy \(\displaystyle{ 4}\) możliwe pozycje króla (tak aby zawsze było miejsce po lewej i prawej stronie na wieżę). Jednak w każdej z tych sytuacji liczna możliwości ustawienia wież jest inna dlatego rozważamy je osobno i ostatecznie sumujemy:


Zostało w pozostałe \(\displaystyle{ 3}\) miejsca wcisnąć konie i królową. Można to zrobić na \(\displaystyle{ 3!/2!}\). Bo konie są identyczne. Zatem możliwości jest


Na koniec przypominamy sobie o gońcach. Można je było ustawić w dowolny sposób już na samym początku. Tylko tak by stały na różnych kolorach. Ostatecznie mamy więc


możliwych ustawień. Nie twierdzę, że to jedyne rozwiązanie, ale to zdaje się dość proste.

Janusz Tracz pisze: 18 lut 2025, o 00:50 Imho błąd jest już w tym stwierdzeniu

Mathix pisze: 17 lut 2025, o 23:10 1. Szukam liczby ustawień króla i dwóch wież. Skoro pól do ustawienia szachów mam 8, to liczba takich ustawień to będzie \(\displaystyle{ C^3_8}\), bo każda kombinacja pól wyznacza ustawienie figur na tych polach (Wieża, Król, Wieża)

Nie wydaje mi się. Szukasz ile jest kombinacji 3 miejsc z puli 8 pól. W każdej takiej kombinacji masz tylko jedno możliwe miejsce gdzie może wejść król więc liczba 56 się moim zdaniem zgadza.

Imo błąd jest w tym stwierdzeniu

Mathix pisze: 17 lut 2025, o 23:10 2. Pozostaje mi 5 pól do wypełnienia, wiem, że spośród tych 5 pól, 3 są jednego koloru i 2 dwa innego koloru. Zatem mogę ustawić jednego gońca na 3 sposoby, a drugiego na 2.

Bo ma się sytuację, że król i dwie wieże zajmują pola o tym samym kolorze. Wtedy zamiast 3 rozmieszczeń jednego koloru i 2 dwóch drugiego mamy tylko 1 możliwą pozycję jednego gońca i 4 drugiego.

Czyli jak normalnie mamy 6 różnych kombinacji jak mogą się rozmieścić gońce, w sytuacji gdzie król i wieże znajdują się na polu o tym samym kolorze liczba kombinacji spada do 4.

Możemy więc obliczyć ile razy występuje taka kombinacja (król i wieża znajduje się na polu o tym samym kolorze). Dla jednego koloru jest to

\(\displaystyle{ C^3_4 = 4 }\) a jako, że mamy dwa kolory to liczbę możliwości mnożymy razy 2 czyli takich sytuacji kiedy król i wieże znajdują się na jednym kolorze mamy 8.

Czyli normalnie mnożylibyśmy \(\displaystyle{ 56 \cdot 3 \cdot 2 }\) i to nam daje 336, ale jako, że wiemy, że w 8 przypadkach liczba kombinacji gońców spada z 6 do 4 to mamy sytuacje, w której musimy odjąć "nadmiarowe" kombinacje, które według zasad nie są możliwe.

\(\displaystyle{ 56 \cdot 3 \cdot 2 -((6-4) \cdot 8) = 320 }\)

Potem już z górki tak jak było napisane w poście:

Trzy sytuacje jak możemy rozmieścić hetmana i pozostają dwa pola na skoczki, które można umieścić tylko w jeden sposób:

\(\displaystyle{ 320 \cdot 3 \cdot 1 = 960 }\)

Oczywiście można to prościej zrobić i uniknąć pułapki z gońcami i od nich zacząć, ale jeśli kolega chciał zacząć od króli i wież to tak też jest możliwe to obliczyć. Jest późno i mogłem gdzieś popełnić błąd, ale wydaje mi się, że to rozwiązanie jest poprawne.

Saref pisze: 18 lut 2025, o 03:07 \(\displaystyle{ 320 \cdot 3 \cdot 1 = 960 }\)

Oczywiście można to prościej zrobić i uniknąć pułapki z gońcami i od nich zacząć, ale jeśli kolega chciał zacząć od króli i wież to tak też jest możliwe to obliczyć. Jest późno i mogłem gdzieś popełnić błąd, ale wydaje mi się, że to rozwiązanie jest poprawne.

Poprawne - inna nazwa to szachów Fishera to szachy 960, właśnie od liczby możliwych początkowych ustawień.

JK

Dziękuję za odpowiedzi, faktycznie z jakiegoś powodu przyjąłem błędne założenie o tym, że (Król, Wieża, Król) nie mogą być na polach tego samego koloru. Teraz wszystko jasne:)

Fishera, Fiszera czy Fischera