Pochodna funkcji z wartością bezwzględną

[Damieux]

Dzień dobry, mam wątpliwości, czy dobrze obliczyłem pochodną funkcji \(\displaystyle{ f\left( x\right) }\)

\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \sqrt{x ^{2} }+5 }\)

\(\displaystyle{ f'\left( x\right)=\left( \sqrt{x ^{2} } \right)'+5' =\left[ \left( x ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} } \right]'\left( x ^{2} \right)' +5' = \frac{1}{2}\left( x ^{2} \right) ^{ \frac{-1}{2} } \cdot 2x = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{x ^{2} } \right) ^{ \frac{1}{2} } \cdot 2x = \frac{x}{ \sqrt{x ^{2} } }= \frac{x}{\left| x\right| } }\)

I teraz:
-jeśli \(\displaystyle{ x \ge 0}\) to \(\displaystyle{ f'\left( x\right) =1}\)
-jeśli \(\displaystyle{ x<0}\) to \(\displaystyle{ f'\left( x\right)=-1 }\)

Dobrze?

[Jan Kraszewski]

A skąd pomysł, że ta funkcja jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ x=0}\)?

JK

[Damieux]

No tak, przecież mianownik musi być różny od zera.. ale odpowiedzi są te same \(\displaystyle{ \left\{ -1,1\right\} }\)?

[arek1357]

Możliwe, że jest pochodna lewostronna i prawostronna ale niekoniecznie są one sobie równe...

a czy ta funkcja to nie czasem:

\(\displaystyle{ f(x)=|x|+5}\) ???

warto się nad tym zastanowić...

[a4karo]

To jest temat, który warto zanalizować. W końcu Damieux używał znanych wzorków, a wyszła kiszka. To rzecz, na którą rzadko zwraca się uwagę, ale każdy z tych wzorków (pochodna sumy, iloczynu, złożenia etc) na swoje założenia. Jednym z nich jest: jeżeli funkcja jest różniczkowalna

Otóż łatwo zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ \sqrt{}}\) nie jest różniczkowalna w zerze, i dlatego całe rozumowanie w tym punkcie nie działa i trzeba użyć innej metody.

Wniosek stąd, że stwierdzenie

No tak, przecież mianownik musi być różny od zera..

nie jest poprawne, bo w pierwszym czytaniu sugeruje brak różniczkowalności tej funkcji w zerze. A że tak być nie musi - pokazuje prosty przykład `g(x)=\sqrt{x^4}`.
Rózniczkowanie tej funkcji metodą użytą przez Damieux wygląda tak
\(\displaystyle{ g'(x)=\frac{4x^3}{2\sqrt{x^4}}}\), co nie ma sensu w zerze, a przecież `g(x)=x^2` jest ładnie różniczkowalna.

Żeby dokończyć zadanie, trzeba z definicji policzyć prawostronną i lewostronną pochodną funkcji `f` w zerze i wyciągnąć stosowny wniosek.

[Damieux]

a ile wynosi pochodna z \(\displaystyle{ \left| x\right| }\) ?

[Jan Kraszewski]

A w jakim punkcie?

JK

[arek1357]

Prawie wszędzie: \(\displaystyle{ \pm 1}\)